求 2 的平方根到小数点后 100 位以上

Question

我试图通过使用牛顿方法来完成这项工作，如下所述：wiki 使用以下代码，但问题是它只能给出精确到小数点后 16 位的结果。我试图增加迭代次数，结果还是一样。我从 1 的初始猜测开始。那么我怎样才能提高答案的准确性（最多 100 位或更多小数位）？ 谢谢。 代码：

double x0,x1;
#define n 2
double f(double x0)
{
    return ((x0*x0)-n);
}
double firstDerv(double x0)
{
    return 2.0*x0;
}
int main()
{
    x0 = n/2.0;
    int i;
    for(i=0;i<40000;i++)
    {
        x1=x0-(f(x0)/((firstDerv(x0))));
        x0=x1;
    }
    printf("%.100lf\n",x1);
    return 0;
}

Answer 1

当前机器上的浮点数是IEEE754，并且精度有限（大约 15 位）。

如果您想要更高的精度，您将需要 bignums，它们（缓慢）由软件库（如 GMP）提供

您还可以使用 bignums 以语言和实现对您的程序进行编码。

Answer 2

你根本无法用这种方法做到这一点；双打没有足够的位来获得 100 位精度。考虑使用任意精度的库，例如 GMP。

Answer 3

这可能是因为浮点数是由计算机通过 m*10^e 形式近似的。由于 m 和 e 由有限数量的数字组成，因此您无法以绝对精度逼近所有数字。

想想 1/3 是 0.333333333333333...

Answer 4

为了解决浮点精度有限的问题，还可以使用牛顿法 在每次迭代中找到一个有理数（a/b，具有 a 和 b 整数），它是 sqr(2) 的更好近似值。

如果 x=a/b 是您上次迭代返回的值，则牛顿法表明新的估计 y=c/d 是：

y = x/2 + 1/x = a/2b + b/a = (a^2+2b^2)(2ab)

所以：

c= a^2 + 2b^2

d=2ab

每次迭代精度加倍。您仍然可以达到的精度有限，因为 nominator 和 denominator 迅速增加，但也许找到大整数的实现（或自己编造一个）比找到任意精度浮点的实现更容易。另外，如果您真的对小数感兴趣，那么这个答案对您没有帮助。它确实为您提供了一个非常精确的 sqr(2) 估计值。

只是算法的一些 a/b 迭代：

1/1、3/2、17/12、577/408、665857/470832。

665857/470832 近似于 sqr(2)，误差为 1.59e-12。错误将保持为 1/a^2 的顺序，因此实现 a 和 b as longs 将为您提供 1e-37 -ish 的精度。