将一条曲线水平移动到另一条曲线

Question

有没有人知道如何将一条曲线拟合到另一条曲线，只需将其向右移动即可。例如，在这个图中，我想将橙色曲线向右移动（没有垂直移动！），以便曲线相互重叠。谁能帮我做这件事？

曲线数据：

   y1 = [1.2324, 1.4397, 1.5141, 1.7329, 1.9082, 2.2884, 2.166, 2.8175, 3.1014, 2.8893, 3.673, 4.3875, 4.9817, 5.6906, 6.3667, 7.2854, 8.2703, 9.3432, 10.591, 11.963, 13.579, 15.36, 17.306, 19.508, 21.976, 24.666, 27.692, 31.026, 34.724, 38.702]
        
   y2 = [1.6231, 1.6974, 1.8145, 2.4805, 2.5643, 2.6176, 2.9332, 3.4379, 4.0154, 4.2258, 4.6837, 5.9837, 6.4408, 7.2903, 8.2283, 9.4134, 10.537, 11.947, 13.344, 15.202, 17.073, 19.211, 21.598, 24.216, 27.06, 30.31, 33.933, 37.882, 42.201, 46.978]
    
    x = [0.1, 0.127, 0.161, 0.204, 0.259, 0.329, 0.418, 0.53, 0.672, 0.853, 1.08, 1.37, 1.74, 2.21, 2.81, 3.56, 4.52, 5.74, 7.28, 9.24, 11.7, 14.9, 18.9, 24.0, 30.4, 38.6, 48.9, 62.1, 78.8, 100.0]

Answer 1

为了使下面的矩阵方程更清晰，符号已更改：

y(x)=y1(x)

z(x)=y2(x)

value=c 在 x 对数刻度上的平移等价于 value=b 在 x 线性刻度上的扩展，因为 log(x)+c=log(bx) 和 c=log(b)。

反函数 x=f(y) 必须与 bx=f(z) 近似一致。所以我们考虑残差之和[f(y)-x]^2+[f(z)-b x]^2。这导致下面的回归演算。函数 f(y) 用 m 次多项式逼近。

对于给定的数据，f(y) 的曲线形状相当平滑。这表明低度数 m 可能就足够了。

例如 m=2 的结果是：

黑色曲线是在对数刻度上从 c=0.180 水平平移的蓝色曲线。

当然可以使用更高次的多项式。例如 m=3 我们得到 b=1.536 和 c=0.186

这个数值例子是一个有利的例子，因为曲线 x=f(y) 具有简单的形状。对于更复杂的形状，可能需要更大的 m 值，但存在回归演算不可靠的风险。

Answer 2

这个问题有一些问题需要一些技巧来解决。我敢肯定这不是理想的解决方案，但它提供了与手动方法所期望的值（大约 1.5 和 1.6）足够接近的值。

第一个障碍是，当您移动 X 值时，您不会得到匹配的 y 值，因此计算残差可能会很棘手。我通过创建一个包含 1000 个点的巨大新 x 数组来强行解决这个问题，然后在这个新的 x 数组上插入原始的 2 个 y 值（稍后会出现）。因此，在计算两条曲线之间的残差时，x 的值会偏离，但幅度不会太大。

reference_y = y1
to_shift_y = y2
expanded_x = np.logspace(np.log10(x[0]), np.log10(x[-1]), num=1000)
expanded_y_reference = np.interp(expanded_x, x, reference_y)
expanded_y_to_shift = np.interp(expanded_x, x, to_shift_y)

然后，当您将 x 移动某个常数时，您将获得两个区域，其中不会有相等的 x 值。

original x: -------------------------------xxxx
shifted x:  xxxx-------------------------------

我使用 shift 参数创建了一个新的 x 数组，hor_shift 设置了某个大于 1 的值。然后，我找到了原始索引和 shift 停止匹配的索引。

start = np.argmax(expanded_x >= expanded_x_shifted[0])
end = np.argmin(expanded_x_shifted <= expanded_x[-1])

由于这些数组是 [False, False, True, True ...] 和 [True, True, ..., True, False, False]，argmax 和 argmin 将返回您具有不同值的第一个实例。

现在，我们必须对原始和移位的x 数组进行切片，使它们具有相同的大小和共同的值，并且与扩展的y 数组相同。请原谅名字太长，以免我感到困惑。

expanded_x_original_in_common_with_shifted = expanded_x[start:]
expanded_x_shifted_in_common_with_original = expanded_x_shifted[:end]
sliced_expanded_y_reference = expanded_y_reference[start:]
sliced_expanded_y_to_shift = expanded_y_to_shift[:end]

最后，也是最重要的一点，假设 x 值对齐，我们可以计算两条曲线之间的距离。

residual = ((sliced_expanded_y_reference - sliced_expanded_y_to_shift) ** 2).sum()

通过最小化这一点，我们可以获得理想的转变。

我们可以比较我们的曲线。在这里，我使用了两个偏移值，1.3 和 1.56，来说明好的和坏的偏移值（这些是通过测试不同的值发现的）。垂直线表示该区域的共同点。

现在，我们可以将这个过程转化为一个函数，并使用一些最小化方法来找到理想的移位值。这是我得到的。

from lmfit import Parameters, minimize
par = Parameters()
# If the shift parameter is 1, you get an error
par.add('shift', value=1.1, min=1)

def min_function(par, x, reference_y, to_shift_y):
    hor_shift = par['shift'].value
    # print(hor_shift)  # <- in case you want to follow the process
    expanded_x = np.logspace(np.log10(x[0]), np.log10(x[-1]), num=1000)
    expanded_x_shifted = expanded_x * hor_shift
    start = np.argmax(expanded_x >= expanded_x_shifted[0])
    end = np.argmin(expanded_x_shifted <= expanded_x[-1])
    expanded_x_original_in_common_with_shifted = expanded_x[start:]
    expanded_x_shifted_in_common_with_original = expanded_x_shifted[:end]
    expanded_y_reference = np.interp(expanded_x, x, reference_y)
    expanded_y_to_shift = np.interp(expanded_x, x, to_shift_y)

    sliced_expanded_y_reference = expanded_y_reference[start:]
    sliced_expanded_y_to_shift = expanded_y_to_shift[:end]
    
    
    residual = ((sliced_expanded_y_reference - sliced_expanded_y_to_shift) ** 2).sum()
    return residual

minimize(min_function, par, method='nelder', args=(x, reference_y, to_shift_y))

这产生了一个理想的移位参数1.555，证实了最初的猜测。请注意，如果您希望卡方与图中的卡方匹配，则必须将 residual 表达式更改为 (sliced_expanded_y_reference - sliced_expanded_y_to_shift)。