GAM（包：mgcv）中估计参数系数和估计平滑参数的协方差矩阵？

Question

考虑下面的代码来拟合一个广义的加法模型，包括两个项 x0 是线性的和 x1 是非线性的：

library(mgcv)
set.seed(2) ## simulate some data...
dat <- gamSim(1,n=400,dist="normal",scale=2, method="REML")
b <- gam(y~x1+s(x2, k=5),data=dat)

模型b 估计 3 个参数：一个截距，一个用于x1 的参数系数，以及一个用于x2 的平滑参数。如何提取这三个参数的估计协方差矩阵？我使用了vcov(b)，它给出了以下结果：

             (Intercept)           x0      s(x1).1      s(x1).2      s(x1).3      s(x1).4
(Intercept)  0.104672470 -0.155791753  0.002356237  0.001136459  0.001611635  0.001522158
x0          -0.155791753  0.322528093 -0.004878003 -0.002352757 -0.003336490 -0.003151250
s(x1).1      0.002356237 -0.004878003  0.178914602  0.047701707  0.078393786  0.165195739
s(x1).2      0.001136459 -0.002352757  0.047701707  0.479869768  0.606310668  0.010704075
s(x1).3      0.001611635 -0.003336490  0.078393786  0.606310668  0.933905535  0.025816649
s(x1).4      0.001522158 -0.003151250  0.165195739  0.010704075  0.025816649  0.184471259

似乎vcov(b) 给出了与平滑项s(x1) 的每个结相关的协方差，因为结果包含s(x1).1, s(x1).2, s(x1).3, s(x1).4（这就是我的猜测）。我需要估计的平滑参数和其他参数系数之间的协方差，(Intercept) 应该只有一个，x0 应该只有一个。它是否可用？

编辑：我在代码中将估计方法设置为 REML。我同意我可能使用了不正确的短语来解释 Gavin Simpson 所说的我的想法，我理解他所说的一切。然而，计算参数系数（x1 的截距和系数）与其平滑参数之间的协方差的想法来自估计方法。如果我们将其设置为 ML 或 REML，那么我猜可能存在协方差。在这种情况下，对数平滑参数估计的估计协方差矩阵由sp.vcov 提供。所以我认为参数系数和平滑参数也可以类似地存在这样的值。

Answer 1

你的陈述

模型 b 估计 3 个参数：一个截距、一个 x1 的参数系数和一个 x2 的平滑参数。

不正确。

该模型估计的系数比这三个要多得多。另请注意，说x2 的 平滑参数 令人困惑，因为模型也估计了其中一个，但我怀疑这就是你所说的那个短语的意思。为x2 估计的平滑参数是控制拟合样条曲线摆动的值。它也与您看到的其他系数一起估计，尽管它通常不被视为主要模型估计参数的一部分，因为您在 VCOV 中看到的实际上是模型系数的方差和协方差条件 根据这个平滑度参数的值。

此处拟合的 GAM 是其中x2 的效果由x2 的样条基扩展表示。对于使用的基和应用于基的可识别性约束，这意味着x2、f(x2) 的真实效果是通过k-1 基函数估计的。这是一个函数hat(f(x2)) = \sum \beta_i b_i(x2)，通过将加权（beta_i，ith 基函数的模型系数，b）基函数在观察值x2 (b_i(x2) )。

因此，一旦选择了基础并且我们有了平滑度参数（我的版本，控制摆动的那个），这个模型就是一个简单的 GLM，带有 x1 和在 x2 评估的 4 个基函数。因此它是参数化的，VCOV 中没有一个元素与平滑 f(x2) 相关 - 该模型无法以这种方式工作。