关于matlab中协方差矩阵的对称正半定性

Question

大家好，我有这个问题：

• 我有 n 个向量的数据集，每个向量都有 D 维。
• 我还有一个大小为 D*D 的协方差矩阵，设为 C。

我执行以下操作：

• 我从数据集中选择了K个向量，也随机选择了E个维度。令 M 为所选数据在所选维度上的样本协方差。因此 M 为 E*E 矩阵。
• 设P为对应于C的维度E的部分协方差矩阵，即。 matlab中的C(E,E)

下面的矩阵是半正定的吗？：

X = (1-a)P + aM

其中 a 是一个常数，例如 0.2。

使用 mvnrnd(mean,X) 时有时会出现以下错误： SIGMA 必须是一个对称的半正定矩阵

我的代码是：

%%%Dims are randomly choosen dimensions
%%%Inds are randomly choosen Indexes form {1, 2, ...,n}
%%% PP are n D dimensional vectors, composing my data set PP is n*D
%%% Sigmaa is a D*D covariance matrix
co = cov(PP(Inds,Dims));
me = mean(PP(Inds,Dims));
Bettaa = 0.2;
sigmaaDims = sigmaa(Dims,Dims);
sigmaaDims = (1-Bettaa)*sigmaaDims + (co)*Bettaa;
Tem = mvnrnd(me,sigmaaDims);

Answer 1

仅查看矩阵维度 无法判断矩阵是否为半正定矩阵。

要确定给定矩阵是否为positive semi-definite，您必须检查它的特征值是否为非负且对称：

symmetry = issymmetric(X);
[~,D]=eig(X);
eigenvalues = diag(D);
if all(eigenvalues>0) & symmetry
    disp('Positive semi-definite matrix.')
else
     disp('Non positive semi-definite matrix.')
end

其中 X 是您感兴趣的矩阵。

请注意，如果您使用正定矩阵的较弱定义（请参阅非对称矩阵的扩展部分），X 不需要是对称的，您可以最终得到：

[~,D]=eig(X);
eigenvalues = diag(D);
if all(eigenvalues>=0)
    disp('Positive semi-definite matrix.')
else
     disp('Non positive semi-definite matrix.')
end