生成矩阵的线性组合

Question

我想创建一个矩阵 A [4x8] 如下。

矩阵 A 始终以 1 作为其对角线。 A11,A22,A33,A44 = 1

这个矩阵可以被认为是两半，前半部分是前 4 列，后半部分是后 4 列，如下所示：

        1 -1 -1 -1   1 0 0 1
  A =  -1  1 -1  0   0 1 0 0
       -1 -1  1  0   1 0 0 0 
       -1 -1 -1  1   1 1 0 0

前半部分的每一行可以有两个或三个-1：

• 如果它有两个-1，那么下半部分对应的行应该有一个1
• 如果任何一行有三个-1，矩阵的后半部分应该有两个1。

总体目标是使每一行的总和为0。我需要生成这样的矩阵的所有可能组合。

如果在每次迭代中创建具有新组合的矩阵会更好，以便在使用它之后我可以丢弃它，否则存储所有组合非常占用空间。有谁能够帮我 ？

我能想到的一个可能的解决方案是生成 row1、row2、row3 和 row4 的所有可能组合，并在每次迭代中创建一个矩阵。这看起来可行吗？

Answer 1

这是一种可能的解决方案。如果你暂时忽略对角线，你可以使用函数KRON、REPMAT、PERMS、UNIQUE、EYE和ONES为其他7个值生成所有可能的模式：

>> rowPatterns = [kron(eye(3)-1,ones(4,1)) ...      %# For 2 out of 3 as -1
                  repmat(eye(4),3,1); ...           %# For 1 out of 4 as 1
                  repmat([-1 -1 -1],6,1) ...        %# For 3 out of 3 as -1
                  unique(perms([1 1 0 0]),'rows')]  %# For 2 out of 4 as 1

rowPatterns =

     0    -1    -1     1     0     0     0
     0    -1    -1     0     1     0     0
     0    -1    -1     0     0     1     0
     0    -1    -1     0     0     0     1
    -1     0    -1     1     0     0     0
    -1     0    -1     0     1     0     0
    -1     0    -1     0     0     1     0
    -1     0    -1     0     0     0     1
    -1    -1     0     1     0     0     0
    -1    -1     0     0     1     0     0
    -1    -1     0     0     0     1     0
    -1    -1     0     0     0     0     1
    -1    -1    -1     0     0     1     1
    -1    -1    -1     0     1     0     1
    -1    -1    -1     0     1     1     0
    -1    -1    -1     1     0     0     1
    -1    -1    -1     1     0     1     0
    -1    -1    -1     1     1     0     0

请注意，对于任何给定的行，这是 18 种可能的模式，因此您的矩阵 A 可以有 18^4 = 104,976 种可能的行模式（相当多）。您可以使用函数NDGRID、CAT 和RESHAPE 生成所有可能的4 向行模式索引：

[indexSets{1:4}] = ndgrid(1:18);
indexSets = reshape(cat(5,indexSets{:}),[],4);

indexSets 将是一个 104,976×4 矩阵，每行包含 1 到 18 之间的 4 个值的一个组合，包括 1 到 18，用作rowPatterns 的索引以生成唯一矩阵A。现在您可以遍历每组 4 向行模式索引并使用函数 TRIL、TRIU、EYE 和 ZEROS 生成矩阵 A：

for iPattern = 1:104976
  A = rowPatterns(indexSets(iPattern,:),:);  %# Get the selected row patterns
  A = [tril(A,-1) zeros(4,1)] + ...          %# Separate the 7-by-4 matrix into
      [zeros(4,1) triu(A)] + ...             %#   lower and upper parts so you
      [eye(4) zeros(4)];                     %#   can insert the diagonal ones
  %# Store A in a variable or perform some computation with it here
end

Answer 2

这是另一种解决方案（循环最少）：

%# generate all possible variation of first/second halves
z = -[0 1 1; 1 0 1; 1 1 0; 1 1 1]; n = -sum(z,2);
h1 = {
    [         ones(4,1) z(:,1:3)] ;
    [z(:,1:1) ones(4,1) z(:,2:3)] ;
    [z(:,1:2) ones(4,1) z(:,3:3)] ;
    [z(:,1:3) ones(4,1)         ] ;
};
h2 = arrayfun(@(i) unique(perms([zeros(1,4-i) ones(1,i)]),'rows'), (1:2)', ...
    'UniformOutput',false);

%'# generate all possible variations of complete rows
rows = cell(4,1);
for r=1:4
    rows{r} = cell2mat( arrayfun( ...
        @(i) [ repmat(h1{r}(i,:),size(h2{n(i)-1},1),1) h2{n(i)-1} ], ...
        (1:size(h1{r},1))', 'UniformOutput',false) );
end

%'# generate all possible matrices (pick one row from each to form the matrix)
sz = cellfun(@(M)1:size(M,1), rows, 'UniformOutput',false);
[X1 X2 X3 X4] = ndgrid(sz{:});
matrices = cat(3, ...
    rows{1}(X1(:),:), ...
    rows{2}(X2(:),:), ...
    rows{3}(X3(:),:), ...
    rows{4}(X4(:),:) );
matrices = permute(matrices, [3 2 1]);              %# 4-by-8-by-104976

%#clear X1 X2 X3 X4 rows h1 h2 sz z n r

接下来，您可以按以下方式访问 4×8 矩阵：

>> matrices(:,:,500)
ans =
     1    -1    -1    -1     0     1     0     1
    -1     1    -1     0     0     0     1     0
     0    -1     1    -1     0     0     1     0
     0    -1    -1     1     0     0     0     1

我们还可以确认所有矩阵中的所有行总和为零：

>> all(all( sum(matrices,2)==0 ))
ans =
     1