A = Bᵀ·B 的稀疏矩阵分解答案

【问题标题】：Sparse matrix factorization of A = Bᵀ·BA = Bᵀ·B 的稀疏矩阵分解
【发布时间】：2016-04-19 23:37:45
【问题描述】：

假设我有一个稀疏矩阵A，我想计算一个矩阵B，这样

B.T.dot(B) = A

scipy 模块上是否有任何功能可以做到这一点？如果没有，在numpy可以吗？

【问题讨论】：

scipy里没有，this有用吗？
您在linalg 模块（numpy 和sparse）中发现了什么？如何更具体地了解所需操作的数学名称？

标签： python numpy scipy linear-algebra sparse-matrix

【解决方案1】：

此功能在numpy 和scipy 中适用于密集矩阵，scikits.sparse 中适用于稀疏矩阵，具体取决于您的矩阵。你的矩阵是正定的吗？它是对称吗？如果是这样，那么您实际上是在寻找 Cholesky 分解。

>>> A = np.random.rand(100,100)  # Construct a dense matrix
>>> np.fill_diagonal(A,10) # Ensure the matrix is positive definite
>>> A = 0.5*(A+A.T) # Symmetrize the matrix
>>> B = np.linalg.cholesky(A) # Perform Cholesky decomposition 
>>> np.allclose(B.dot(B.T),A) # Verify
True

通常B 是numpy 中的下三角矩阵，但最好确保这一点，因为上三角矩阵需要将乘法顺序从B.dot(B.T) 更改为B.T.dot(B) .对于scipy 版本，您可以指定keywork 参数lower（默认为False）以始终获得所需的正确顺序。

>>> B = sp.linalg.cholesky(A,lower=False)
>>> np.allclose(B.T.dot(B),A)
True

虽然这应该没什么大不了的。对于稀疏矩阵，您可以使用todense() 或toarray()（不推荐）将稀疏矩阵转换为密集矩阵，或者使用scikits.sparse 模块

>>> from scikits.sparse.cholmod import cholesky
>>> spA = csc_matrix(A)
>>> factor = cholesky(spA)
>>> spB = factor.L()
>>> np.allclose(spA.todense(),spB.dot(spB.T).todense()) # Just for verification
True

对于半定矩阵，论文中还提供了 Cholesky 类型分解：Analysis of the Cholesky Decomposition of a Semi-definite Matrix，但据我所知，scipy 或 scikits 中没有实现。

【讨论】：