在 Python 中计算低秩近似答案

【问题标题】：Computing Low-Rank approximation in Python在 Python 中计算低秩近似
【发布时间】：2018-02-16 13:26:42
【问题描述】：

给定一个维度为 nxn 的矩阵 M，我如何计算一个低秩分解，使得 M = L.T * L，其中 L 的维度为 kxn。到目前为止，我只看到使用 SVD 完成此操作，这并不是我想要的，因为该方法给了我 M = USV 和 UT != S*V，而不是 ( LT).T == L.

另一种选择可能是使用某种形式的优化来找到 L，但这并不简单，因为我已经尝试了几种 SciPy 的优化方法，在 frobenius 范数下具有 M - LT * L 的差异，到目前为止我没有成功。

编辑：我忘了补充一点，通过使用 scikit 的非负矩阵分解类，我可以通过传递 L 和 L.T 作为优化的候选矩阵来部分实现这一点。但是，我的矩阵 M 不是非负数，因此这种方法对我不起作用。

【问题讨论】：

你说“什么是最好的方法……”但是你说的最好是什么意思？你的意思是最快的执行？最低的复杂性？最容易阅读和理解？最容易编码？ -- 你还说“我试过'x'，但这不是我想要的”它有什么问题？你想要什么？似乎 SVD 是找到分解的好方法。
感谢您的评论，我改进了问题以解决您的建议。
这个问题似乎更适合math.stackexchange。我不会投票结束，因为这个问题是关于算法的，它在网站的条款范围内。但是，您在这里可能得不到好的答案。
我觉得更适合scicomp

【解决方案1】：

答案取决于您对矩阵的了解。

如果矩阵是半正定矩阵，可以使用Cholesky Factorization，使用旋转以获得稳定性。

在其他假设下，可能不存在解决方案。

一个可能不存在解的例子，下面的矩阵没有解：

[[0, 1],
 [0, 0]]

证明：假设答案存在。那么解决方案如下：

L = [[a, b],
     [c, d]]

所以以下必须为真：

根据3.(c == 0) or ((a+d) == 0)

如果c == 0，则根据1.和2.a == 0和d == 0。如果这是真的，那么 (a+d) == 0 这使得 4. 不可能。

如果(a+d) == 0 则 4. 是不可能的。

通过矛盾，我们知道你要求的这个矩阵不能分解。

【讨论】：