准确地找到最小的特征值答案

【问题标题】：Find smallest eigenvalue exactly准确地找到最小的特征值
【发布时间】：2014-03-05 20:09:04
【问题描述】：

我想准确地找到矩阵的最小（绝对值）非零特征值。我可以使用 numpy 的浮点运算来做到这一点，但是

有没有办法得到准确的答案？
您必须为此使用 sympy 还是有其他方法？

矩阵将很小（比如小于 20 x 20），具有整数值。例如，当我说确切的答案时，我的意思是类似于 the answer of John Habert 中的答案。

【问题讨论】：

你能准确定义你的意思吗？我们在谈论什么类型的矩阵？什么尺寸？
我认为你不能在所有情况下都得到准确的答案，即使对于具有整数元素的矩阵也是如此。

【解决方案1】：

特征值是algebraic numbers，即某个多项式的根。该多项式的次数将是矩阵维度。对于 4 次以下的多项式，您原则上可以将这些数字写为嵌套根，但除此之外，通常无法准确地表示特征值。即使在可能的情况下，您肯定也不想看到确切的值，这里是一个看似无辜的小矩阵的示例：

【讨论】：

【解决方案2】：

从您的帖子中，尚不清楚矩阵是否是 Hermitian。我不知道一般情况下的方法。

但是！如果矩阵是 Hermitian（对称正定），则可以避免计算所有特征值，如果您只需要最小的一个（这将是正的）。您可以使用逆迭代。 http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_iteration

你可以从 mu = 0 开始算法；然后使用瑞利商 http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient_iteration 通常会给你非常快速的收敛。该方法涉及线性方程组的求解（或者，在某种程度上，逆矩阵的计算），但如果矩阵再次是 Hermitian，您可以为其生成 Cholesky 分解，然后使用生成的三角矩阵解决系统问题。

在某些情况下，该方法会收敛到不正确的特征值（例如，靠近最小值）。

另外，一个有趣的观察是矩阵 A 的最大特征值等于该矩阵的范数（其元素的平方和的平方根）。 A 的 SMALLEST 特征值等于 1 除以 A 的 INVERSE 的范数。所以，如果你的矩阵不是很大并且它的逆存在，你可以把它倒置，然后做它，然后计算 1/norm (inv(A))。该值将是 A 的 SMALLEST 特征值。

【讨论】：

我不是数值分析师，但看起来逆迭代给出了特征值的数值近似值，而不是 OP 正在寻找的确切特征值。而且我不认为最后一段是真的：[[1 0] [0 2]] 有范数√5。也许范数限制了特征值？
是的，你是对的，它会给出一个近似值，可能不是 OP 可能想要的。 Matlab 为您的矩阵提供了一个 norm = 2。也许是因为它计算了 L2 范数。您指的是 Frobenius 范数，即 sqrt(5)。当我说最大特征值等于“矩阵元素平方和的平方根”时，我是不正确的。实际上有不同的规范：mathworld.wolfram.com/MatrixNorm.html mathworld.wolfram.com/FrobeniusNorm.html 感谢您指出这种歧义。