了解 Michael Nielsen 的反向传播代码

Question

我正在尝试理解/运行 Michael Neilsen 的神经网络和深度学习第 2 章中关于反向传播的代码：http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap2.html#the_code_for_backpropagation。

在反向传播的开始，它有：

delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \
    sigmoid_prime(zs[-1])
nabla_b[-1] = delta
nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())

前向传递创建activations 列表，其中activations[i] 包含i 层中神经元的激活向量。所以activations[-1] 是最后一层。 y 是所需的输出。

cost_derivative 定义为：

def cost_derivative(self, output_activations, y):
"""Return the vector of partial derivatives \partial C_x /
\partial a for the output activations."""
return (output_activations-y)

所以第一行输出一个与我们的输出层形状相同的向量。所以我的问题是第四行的np.dot 应该如何工作？我的理解是activations[-2] 是倒数第二层神经元激活的向量，它可以有任意数量的神经元，所以我不确定我们如何点积它（或它的转置）使用具有输出层形状的增量。

我运行代码 (https://github.com/mnielsen/neural-networks-and-deep-learning/blob/master/src/network.py) 并添加了一些调试行来尝试理解这一点，但它似乎不起作用：

>>> from network import *; net = Network([2,1,2])
>>> net.backprop([1,2], [3,4])

Activations[0]
[1, 2]

Activations[1]
[[ 0.33579893]]

Activations[2]
[[ 0.37944698]
 [ 0.45005939]]

Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<snip>/neural-networks-and-deep-learning/src/network.py", line 117, in backprop
    nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())
ValueError: shapes (2,2) and (1,1) not aligned: 2 (dim 1) != 1 (dim 0)

activations 看起来完全符合我的预期 - 2 次激活，然后是 1 次，然后是 2 次。失败就在我不清楚的线上，并且正如我预期的那样失败。但是，大概这本书中的代码已经过测试（这本书很棒），我一定是做错了什么。我正在编写一个独立的实现并遇到了同样的问题，所以我希望能够把这段代码拆开来弄清楚——但我不知道这应该如何工作，或者为什么它对作者有用.

如果能对我在这里遗漏的内容提供任何见解，我将不胜感激。谢谢！ :)

Answer 1

为什么反向传播中的形状匹配

假设网络架构为[...,N,M]，即最后一层输出大小为M的向量，前一层的大小为N（让我们关注最后两层，忽略其余层）。 N 和 M 可以是任意的。另外，让我们忽略批处理，就像您的问题一样：我们只提供一个输入和一个标签。

在这种情况下，最后一个权重矩阵，即self.weights[-1]，将具有[M,N] 形状，因此必须是nabla_w[-1] 才能正确执行更新。现在：

• delta 将具有 [M,1] 形状（对应于输出）。
• activations[-2] 将具有 [N,1] 形状，因此转置为 [1,N]。
• 他们的点积产生[M,1]*[1,N] -> [M,N] 形状，这正是我们所需要的。

为什么您的测试运行失败

因为在 numpy 中，(2,) 的形状与 [1,2] 或 [2,1] 不同：

>>> np.array([1, 2]).shape
(2,)

网络架构区分x 和y 的行和列，您必须提供两者的正确形状才能使其工作。否则，你会得到意想不到的广播和形状不匹配。试试这个例子来看看它的实际效果：

net = Network([2,1,2])
x = np.array([1, 2]).reshape([2, 1])  # one example of size 2
y = np.array([3, 4]).reshape([2, 1])  # one example of size 2
net.backprop(x, y)