如何找到一组笛卡尔点 (xyz) 的可变性或与 3D 线和/或平面的拟合/距离？

Question

所以我在看这个问题：

Matlab - Standard Deviation of Cartesian Points

这基本上回答了我的问题，除了问题是我有 xyz，而不是 xy。所以我不认为 Ax=b 在这种情况下会起作用。

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例如，我有 10 个笛卡尔点，我希望能够找到这些点的标准差。现在，我不想要每个 X、Y 和 Z 的标准偏差（作为 3 组的结果），但我只想得到一个数字。

这可以使用 MATLAB 或 excel 来完成。

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为了更好地理解我在做什么，我有这个想要的点 (1,2,3)，我记录了 (1.1,2.1,2.9)、(1.2,1.9,3.1) 等等。我希望能够找到所有记录点的可变性。

我愿意接受任何其他建议。

Answer 1

随机聚类数据

如果您的数据预计不会靠近直线或平面，只需计算每个点到质心的距离：

xyz_bar = mean(xyz);
M = bsxfun(@minus,xyz,xyz_bar);
d = sqrt(sum(M.^2,2)); % distances to centroid

然后，您可以随心所欲地计算可变性。例如标准差和均方根误差：

std(d)
sqrt(mean(d.^2))

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关于 3D 线的数据

如果预计数据点大致沿着一条线的路径，与它有一些偏差，您可能会查看到最佳拟合线的距离。首先，将 3D 线拟合到您的点。一种方法是使用以下参数形式的 3D 线：

x = a*t + x0
y = b*t + y0
z = c*t + z0

生成一些带有噪声的测试数据：

abc = [2 3 1]; xyz0 = [6 12 3];
t = 0:0.1:10;
xyz = bsxfun(@plus,bsxfun(@times,abc,t.'),xyz0) + 0.5*randn(numel(t),3)
plot3(xyz(:,1),xyz(:,2),xyz(:,3),'*') % to visualize

估计3D线参数：

xyz_bar = mean(xyz) % centroid is on the line
M = bsxfun(@minus,xyz,xyz_bar); % remove mean
[~,S,V] = svd(M,0)
abc_est = V(:,1).'
abc/norm(abc) % compare actual slope coefficients

点到 3D 线的距离：

pointCentroidSeg = bsxfun(@minus,xyz_bar,xyz);
pointCross = cross(pointCentroidSeg, repmat(abc_est,size(xyz,1),1));
errs = sqrt(sum(pointCross.^2,2))

现在您有了从每个点到拟合线的距离（每个点的“误差”）。您可以计算平均值、RMS、标准差等：

>> std(errs)
ans =
    0.3232
>> sqrt(mean(errs.^2))
ans =
    0.7017

关于 3D 平面的数据

见David's answer。

Answer 2

如果您执行与链接的其他答案相同的操作，它应该可以工作。

x_vals = xyz(:,1);
y_vals = xyz(:,2);
z_vals = xyz(:,3);

然后将A 设为 3 列，

A = [x_vals y_vals ones(size(x_vals))];

和

b = z_vals;

然后

sol=A\b;
m = sol(1);
n = sol(2);
c = sol(3);

然后

errs = (m*x_vals + n*y_vals + c) - z_vals;

之后，您可以像在链接问题中一样使用errs。