预测篮球中罚球命中率的概率？答案

【问题标题】：Predicting Probability of Winning Free-Throw % in Basketball?预测篮球中罚球命中率的概率？
【发布时间】：2011-04-22 16:53:24
【问题描述】：

我的实际问题比这个更笼统，但这是一个具体的例子。在篮球比赛中，罚球命中率计算如下：

罚球命中率 (FT%) = 罚球命中率 (FTM) / 罚球尝试次数 (FTA)

我有两个团队，对于每个团队，我都有团队 FTM 和 FTA 的均值和方差，因此我可以将每个团队建模为随机正态变量（显然 FTM 和 FTA 将是相关的）。例如，我可以轻松计算出一支球队的罚球次数多于另一支球队的概率。

我的问题是……我怎样才能找到一支球队的罚球命中率高于另一支球队的概率？为什么这么难计算？有什么想法吗？

提前致谢！ :-)

【问题讨论】：

这个问题可能更适合新的stats stackexchange

标签： algorithm statistics probability

【解决方案1】：

use the Geary–Hinkley transformation

【讨论】：

很棒的公式！有什么方法可以将其应用于相关变量？
如果允许任何形式的依赖，我怀疑答案是否定的。在这种情况下，我认为您可以尝试更紧密地模拟情况，但结果很难分析。你有一个参数 n,p (FTM) 的二项式变量，其中 n = FTA 是一个随机变量，正如你所说的正常值。我认为您不太可能找到此发行版的封闭形式。我在这里ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2843591 找到了一篇非常简洁的论文，但我没有时间尝试理解它。
在这种情况下，我将模拟上述模型，然后使用自举估计感兴趣的数量（如果我理解正确，两支球队的平均投篮命中率之差）。在 R 中，模块引导对此非常有帮助，rnorm 和 rbinom 也是如此。唯一的问题是我不同意二项式中的 p 是均值（FTM）/均值（FTA），我认为 p 本身是一个随机变量，甚至取决于 FTA。所以模拟不是很明显，可能你没有足够的信息来执行它。

【解决方案2】：

事实证明，正态分布变量（如 FTA 和 FTM 在您的模型中），以一种描述起来相当复杂的方式分布！最简单（或者可能是最不难处理！）的情况是当两个均值都为 0 时，在这种情况下，比率遵循 Cauchy distribution。这种分布很难处理，因为表示均值和方差的积分没有很好地定义。但自贸协定并且 FTM 具有非零均值，因此即使这样也过于简单化了。所以我认为你不会为你试图计算的概率找到任何简单的表达式。

另一种看待它的方式可能是：谁在乎数学是否难以处理......只是模拟它！执行 N 次试验，生成正确分布的值每个团队的 FTM 和 FTA，然后跟踪团队 1 有多少次 FT% 更好比团队 2。N 可能不需要太大，这取决于准确度您的估计需要...可以证明估计比例的误差变化为 1/sqrt(N)。

我还建议使用正态分布以外的其他方法对 FTM 进行建模。参数 n=mean(FTA) 和 p=mean(FTM)/mean(FTA) 的二项分布似乎更合适。对于两个正态分布，FTM > FTA 的概率非零，即没有意义。

【讨论】：

正态变量是否不需要均值为 0 才能使它们的比率服从柯西分布？模拟的想法很有趣......虽然性能将是这里的一个考虑因素。另外，我认为您认为二项式分布更适合 FTM。感谢您的意见！
@Kenny：你说得对，我错过了 mean=0 条件！在这种情况下，数学会变得更糟。我会试着改写一下我的答案。