对数组中最大数的索引进行采样，概率为 1/（最大数的个数）答案

【问题标题】：Sample an index of a maximal number in an array, with a probability of 1/(number of maximal numbers)对数组中最大数的索引进行采样，概率为 1/（最大数的个数）
【发布时间】：2014-03-10 03:49:58
【问题描述】：

这是我最近遇到的面试问题之一。程序返回数组中最大数的索引[注意：数组可能包含也可能不包含最大数的多个副本]，使得每个索引（包含最大数）具有最大数的 1/no 的概率被退回。

例子：

[-1 3 2 3 3]，每个位置[1,3,4]都有1/3的概率被返回（三个3）
[2 4 6 6 3 1 6 6]，[2,3,6,7]中的每一个都有1/4的概率被返回（对应6s的位置）。

首先，我给出了 O(n) 时间和 O(n) 空间算法，在该算法中我收集了一组最大索引，然后从该集合中返回一个随机数。但他要求 O(n) 时间和 O(1) 复杂度程序，然后我想出了这个。

int find_maxIndex(vector<int> a)
{
     max = a[0];
     max_index = 0;
     count = 0;

     for(i = 1 to a.size())
     {
         if(max < a[i])
         {
             max = a[i];
             count = 0;
         }
         if(max == a[i])
         {
              count++;
              if(rand < 1/count) //rand = a random number in the range of [0,1]
                  max_index = i;
         }
      }
      return max_index;
}

我给了他这个解决方案。但我怀疑这个过程是否会以相等的概率选择最大数的索引之一。希望我很清楚。还有其他方法可以做到这一点吗？

【问题讨论】：

标签： algorithm

【解决方案1】：

您的算法运行良好，您可以通过归纳来证明它。

也就是说，假设它适用于任何大小为N 的数组，证明它适用于任何大小为N+1 的数组。

因此，给定一个大小为N+1 的数组，可以将其视为大小为N 的子数组，最后跟一个新元素。通过假设，您的算法统一选择子数组的最大元素之一......然后它的行为如下：

如果新元素大于子数组的最大值，则返回该元素。这显然是正确的。

如果新元素小于子数组的最大值，则返回子数组上的算法结果。显然也是正确的。

唯一有点棘手的部分是当新元素等于子数组的最大元素时。在这种情况下，让子数组中的最大元素数为k。然后，根据假设，您的算法以1/k 的概率选择其中之一。通过以概率k/(k+1) 保持相同元素，您可以根据需要使选择相同元素的总体概率等于1/k * k /(k+1) == 1/(k+1)。您还以相同的概率选择最后一个元素，这样我们就完成了。

要完成归纳证明，只需验证算法适用于大小为 1 的数组。另外，出于实现质量的目的，请修复它以免在大小为 0 的数组上崩溃:-)

[更新]

顺便说一句，这个算法及其证明与Fisher-Yates shuffle密切相关（我一直认为这是“Knuth的洗牌算法”，但维基百科说我落后于时代）。

【讨论】：

其实这是水库采样
通过“保持相同的元素”，你的意思是从子数组中选择相同的最大索引，但现在在整个数组上？我怀疑它的假设概率1/k * k/(k+1)。 1/k 似乎是有意义的，因为在具有 k 最大元素的原始子数组上选择该最大索引的概率是有意义的。但是我不明白您是如何获得k/(k+1) 的。通过将这两个概率相乘，后者似乎应该是指在子数组的选择（现在代表k 元素）和新的最后一个最大索引之间进行选择的机会。但是你是如何推导出数学的呢？
@onepiece：k/(k+1) 就是 1 - 1/(k+1)。这段代码（在“rand”行）以概率1/(k+1) 执行max_index = i，而对于概率1 - 1/(k+1)（等于k/(k+1)）则不执行任何操作。你说得对，我应该把它写出来。
当扫描期间计数实际增加时，我仍然不知道该算法如何正确。例如，如果rand 是 0.5，我希望大致选择我的中间元素。如果有 5 个元素，我希望选择元素号 2（0 索引）。不过，根据代码，比较是（rand < 1/1、rand < 1/2、rand < 1/3 等）。第一个元素被选中的概率更高（几乎 50%），这导致我认为这并不统一。我错过了什么吗？如果相反，这是一个 2-pass 算法，首先计算 count，我猜这可能是有道理的。

【解决方案2】：

这个想法是合理的，但魔鬼在细节中。

首先，您使用的是什么语言？它可能会有所作为。 C 和 C++ 中的 rand() 将返回一个整数，该整数不可能小于 1/count，除非它返回 0。即使这样，如果1/count 是一个整数除法，那么结果总是0。

您的计数也减 1。当您获得新的最大值时，它以 1 开始，但您会在下一个 if 语句中立即增加它。

【讨论】：

我只是假设它是伪代码，= 用于赋值和比较，1 to a.size() 等。你说得对，他需要else if 而不是if

【解决方案3】：

你拥有的是Reservoir sampling！还有另一种易于理解的解决方案，但需要通过两次。

int find_maxIndex(vector<int> a){
    int count = 1;
    int maxElement = a[0];
    for(int i = 1; i < a.size(); i++){
        if(a[i] == maxElement){
            count ++;
        } else if(a[i] > maxElement){
            count = 1;
            maxElement = a[i];
        }
    }
    int occurrence = rand() % count + 1;
    int occur = 0;
    for(int i = 0; i < a.size(); i++){
        if(a[i] == maxElement){
            occur++;
            if(occur == occurrence) return i;
        }
    }
}

算法很简单，首先求最大元素在第一遍中出现的次数。并选择一个随机事件并返回该事件的索引。虽然需要两遍，但很容易理解。

【讨论】：