确定符号是否是第 i 个组合 nCr 的一部分

Question

更新： 组合学和未排序最终是我所需要的。 下面的链接很有帮助：

http://msdn.microsoft.com/en-us/library/aa289166(v=vs.71).aspx

http://www.codeproject.com/Articles/21335/Combinations-in-C-Part-2

问题
给定一个包含 N 个符号的列表，说 {0,1,2,3,4...}
以及这些的NCr组合

例如。 NC3 将生成：

0 1 2  
0 1 3  
0 1 4  
...  
...  
1 2 3  
1 2 4  
etc...  

对于第 i 个组合 (i = [1 .. NCr])，我想确定一个符号是否是它的一部分。
Func(N, r, i, s) = True/False or 0/1
例如。从上面继续 第一个组合包含 0 1 2 但不包含 3

F(N,3,1,"0") = TRUE  
F(N,3,1,"1") = TRUE  
F(N,3,1,"2") = TRUE  
F(N,3,1,"3") = FALSE  

可能有帮助或相关的当前方法和技巧。
与矩阵的关系 对于 r = 2 例如。 4C2 组合是二维矩阵的上半部分（或下半部分）

    1,2 1,3 1,4  
    ----2,3 2,4  
    --------3,4  

对于 r = 3，它是 3D 矩阵或立方体的角 对于 r = 4 它是 4D 矩阵的“角”，依此类推。

另一个关系
理想情况下，解决方案的形式类似于以下问题的答案： Calculate Combination based on position

长度为r的组合列表中的第n个组合（允许重复），可以计算第i个符号
使用整数除法和余数：

n/r^i % r = (0 代表第 0 个符号，1 代表第 1 个符号……等等)

例如，对于 3 个符号的第 6 个组合，第 0 个第 1 个和第 2 个符号是：

i = 0 => 6 / 3^0 % 3 = 0   
i = 1 => 6 / 3^1 % 3 = 2   
i = 2 => 6 / 3^2 % 3 = 0   

第 6 个梳子将是 0 2 0

我需要类似的东西，但不允许重复。

感谢您到目前为止关注这个问题：]
凯文。

Answer 1

我编写了一个类来处理处理二项式系数的常用函数，这是您的问题所属的问题类型。它执行以下任务：

1. 以适合任何 N 选择 K 的格式将所有 K 索引输出到文件。 K-indexes 可以替换为更具描述性的字符串或字母。这种方法使得解决这类问题变得非常简单。

2. 将 K 索引转换为已排序二项式系数表中条目的正确索引。这种技术比依赖迭代的旧已发布技术快得多。它通过使用帕斯卡三角形固有的数学属性来做到这一点。我的论文谈到了这一点。我相信我是第一个发现并发表这种技术的人，但我可能是错的。

3. 将已排序二项式系数表中的索引转换为相应的 K 索引。

4. 使用Mark Dominus 方法计算二项式系数，该方法不太可能溢出并且适用于较大的数字。

5. 该类是用 .NET C# 编写的，并提供了一种通过使用通用列表来管理与问题相关的对象（如果有）的方法。此类的构造函数采用一个名为 InitTable 的 bool 值，当它为 true 时，将创建一个通用列表来保存要管理的对象。如果此值为 false，则不会创建表。无需创建表即可执行上述 4 种方法。提供访问器方法来访问表。

6. 有一个关联的测试类显示如何使用该类及其方法。它已经过 2 个案例的广泛测试，没有已知的错误。

要了解该课程并下载代码，请参阅Tablizing The Binomial Coeffieicent。

这个类可以很容易地应用于你的问题。如果您有二项式系数表的等级（或索引），则只需调用返回数组中 K 索引的类方法。然后，遍历返回的数组以查看是否有任何 K-index 值与您的值匹配。很直接...

Answer 2

对于这个问题有一个非常有效的算法，它也包含在最近出版的：
Knuth，计算机编程的艺术，第 4A 卷（第 7.2.1.3 节）。

由于您不关心生成组合的顺序，因此让我们使用组合的字典顺序，其中每个组合按降序顺序列出。因此，对于 r=3，3 个符号的前 11 个组合将是：210、310、320、321、410、420、421、430、431、432、510。这种排序的优点是枚举独立于n;实际上，它是对来自 {0、1、2、...} 的 3 个符号的所有组合的枚举。

有一个标准的方法可以直接生成给定i的第i个组合，所以要测试符号s是否是ith 组合，您可以简单地生成它并检查。

方法

有多少 r 符号的组合以特定符号 s 开头？那么剩下的r-1个位置肯定来自s符号0,1,2,...,s-1，所以是(s选择r-1)，其中(s选择r-1)或者C(s,r -1) 是二项式系数，表示从 s 个对象中选择 r-1 个对象的方式的数量。因为这对所有 s 都是正确的，所以第 i 个组合的第一个符号是最小的 s，使得

∑_k=0^s(k 选择 r-1) ≥ i。

一旦你知道了第一个符号，问题就简化为找到 (i - ∑_k=0^s-1(k choose r-1))-第 r-1 个符号的组合，我们减去那些以小于 s 的符号开头的组合。

代码

Python 代码（你可以更高效地编写C(n,r)，但这对我们来说已经足够快了）：

#!/usr/bin/env python

tC = {}
def C(n,r):
    if tC.has_key((n,r)): return tC[(n,r)]
    if r>n-r: r=n-r
    if r<0: return 0
    if r==0: return 1
    tC[(n,r)] = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)
    return tC[(n,r)]

def combination(r, k):
    '''Finds the kth combination of r letters.'''
    if r==0: return []
    sum = 0
    s = 0
    while True:
        if sum + C(s,r-1) < k:
            sum += C(s,r-1)
            s += 1
        else:
            return [s] + combination(r-1, k-sum)

def Func(N, r, i, s): return s in combination(r, i)

for i in range(1, 20): print combination(3, i)
print combination(500, 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000)

注意这有多快：它在不到 0.5 秒的时间内找到 1000000000000000000000000000000000000000000000000000 个 500 个字母（以 542 开头）的组合。

Answer 3

我相信您的问题是unranking combinations 或子集的问题。

我会给你一个 Mathematica 中的实现，来自包 Combinatorica，但上面的 Google 链接可能是一个更好的起点，除非你熟悉语义。

UnrankKSubset::usage = "UnrankKSubset[m, k, l] gives the mth k-subset of set l, listed in lexicographic order."

UnrankKSubset[m_Integer, 1, s_List] := {s[[m + 1]]}
UnrankKSubset[0, k_Integer, s_List] := Take[s, k]
UnrankKSubset[m_Integer, k_Integer, s_List] := 
       Block[{i = 1, n = Length[s], x1, u, $RecursionLimit = Infinity}, 
             u = Binomial[n, k]; 
             While[Binomial[i, k] < u - m, i++]; 
             x1 = n - (i - 1); 
             Prepend[UnrankKSubset[m - u + Binomial[i, k], k-1, Drop[s, x1]], s[[x1]]]
       ]

用法如下：

UnrankKSubset[5, 3, {0, 1, 2, 3, 4}]

 {0, 3, 4}

产生集合 {0, 1, 2, 3, 4} 的第 6 个（从 0 开始索引）length-3 组合。