哈希表预期插入

Question

我对我正在学习的算法分析课程中提出的一个猜想感到有些困惑。这是问题。

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假设我们有一个结构为列表向量的哈希表，通过顺序搜索桶来解决冲突。在不对使用的哈希函数做任何假设的情况下，显示以下内容，其中 n 是表中的项目数，b 是表实现中的桶（或槽）数。 e(k) 表示大小为 k 的桶的预期数量，p(k) 表示给定桶正好有 k 个项目的概率。

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我将上述描述解释为基本上描述了将 n 个项目插入 b 个桶中的任何一个的情况。一个桶可以包含 n 到 0 个项目。它可以是空的，也可以包含所有 n 个项目。我们不能对表示任何一项将被插入任何桶的概率的 p(k) 函数做任何假设。

我需要证明的猜想是.....

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证明 e(k) = bp(k)

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也就是说，证明大小为 k 的桶的预期数量等于任何给定桶有 k 个项目的概率乘以 b 个桶。

我想通过说任何一个桶接收到一个项目的概率只是 p(1) = 1/b 来开始这个问题。但这不起作用，因为我必须假设 p(k) 函数将项目均匀地分配到存储桶中，这可能不一定会这样做。

我不确定如何用这么少的信息解决这个问题。 非常感谢您的帮助。

Answer 1

嗯...对我来说，你只需要说一个桶有 k 个元素的概率与任何其他桶有 k 个元素的概率无关。 因此

e(k) = probability of bucket 1 having k elements
     + probability of bucket 2 having k elements
     + ...
     + probability of bucket b having k elements
     = b*p(k)

我不确定你在等待什么。结果对我来说似乎很简单。对不起，如果它没有帮助。

Answer 2

我认为这是使用线性期望的好地方。

让我们定义一些新的随机变量。对于任何桶 i 和容量 k，如果桶 i 中有 k 个元素，则 X_{i, k} 为 1，否则为 0。这意味着容量为 k 的桶的总数由下式给出

X_{1, k} + X_{2, k} + ... + X_{n, k}

因此，e(k) 由下式给出

e(k) = E[X_{1, k} + X_{2, k} + ... + X_{n, k}]

通过期望的线性，我们有

e(k) = E[X_{1, k}] + E[X_{2, k}] + ... + E[X_{n, k}]

现在，让我们看看 X_{i, k} 变量中的任何一个。请注意，如果桶 i 恰好有 k 个元素，则 X_{i, k} 为 1，否则为 0。

因此：

E[X_{i, k}] = 0 · Pr[bucket i 没有 k 个元素] + 1 · Pr[bucket i 有 k 个元素]

= Pr[桶 i 确实有 k 个元素]

嘿！我们知道那个概率是多少——它是 p(k)。因此，E[X_{i, k}] = p(k)，所以我们有这个

e(k) = E[X_{1, k}] + E[X_{2, k}] + ... + E[X_{n, k}]

= p(k) + p(k) + ... + p(k)

= np(k)

我们完成了！

希望这会有所帮助！