函数返回具有指数分布在 (a,b) 范围内的随机双精度

Question

我想生成一个从a 到b 的随机数。问题是，数字必须以指数分布给出。

这是我的代码：

public double getDouble(double low, double high)
        {
            double r;
            (..some stuff..)
            r = rand.NextDouble();
            if (r == 0) r += 0.00001;
            return (1 / -0.9) * Math.Log(1 - r) * (high - low) + low;
        }

问题是 (1 / -0.9) * Math.Log(1 - r) 不在 0 和 1 之间，所以结果不会在 a 和 b 之间。有人可以帮忙吗？提前致谢！

Answer 1

指数分布不限于正数，因此值可以从 0 到 inf。有很多方法可以将 [0,infinity] 缩放到某个有限区间，但结果不会呈指数分布。 如果您只想要 a 和 b 之间的指数分布的一部分，您可以简单地从 [ra rb] 绘制 r 使得 -log(1-ra)=a 和 -log(1-rb)=b ，即,

r=rand.NextDouble(); // assume this is between 0 and 1

ra=Math.Exp(-a)-1;
rb=Math.Exp(-b)-1;

rbound=ra+(rb-ra)*r;
return -Math.Log(1 - rbound);

为什么要检查 r==0？我想你会想要检查日志的参数是否大于 0，所以检查 r（或 rbound int 这种情况）==1。 也不清楚为什么是 (1/-.9) 因子？？

Answer 2

我在第一个答案中误解了您的问题 :) 您已经在使用反演采样。

要将一个范围映射到另一个范围，有一种典型的数学方法：

f(x) = (b-a)(x - min)/(max-min) + a

在哪里

b = upper bound of target
a = lower bound of target
min = lower bound of source
max = upper bound of source
x = the value to map

（这是线性缩放，因此会保留分布）

（您可以验证：如果您为x 输入min，则结果为a，如果您为x 输入max，您将获得b。）

现在的问题：指数分布的最大值为inf。所以，你不能使用这个等式，因为它总是whatever / inf + 0 - 所以0。 （这在数学上是有道理的，但 ofc 不符合您的需求）

所以，唯一正确的答案是：两个固定数字之间不可能有指数分布，因为你不能映射 [0,inf] -> [a,b]

因此，您需要进行某种权衡，以使您的结果尽可能指数。

出于好奇，我盘算着不同的可能性，我发现在这方面你根本无法击败数学：P

但是，我使用 Excel 和 140 万条随机记录进行了一些测试： 我选择了一个随机数作为“限制”（10）并将计算结果四舍五入到小数点后 1 位。 (0, 0.1, 0.2 等等) 这个数字我用来执行线性变换，最大值为 10，输入任何大于 1 的结果。

在 140 万次计算中（生成了 10-20 次），仅生成了 7-10 个大于 1 的随机数：

（概率密度函数，映射值后：第 100 列：= 1，第 0 列：= 0）

所以：

• 使用上述线性方法将值映射到[0,1]，假设转换的最大值为 10。

• 如果你在变换后遇到值>1——就再画一个随机数，直到值

• 在 140 万次测试中只有 7-10 次出现，这应该足够接近，因为重新绘制的数字将再次伪指数分布。

• 如果您想建造一艘宇宙飞船，其导航取决于 0 到 1 之间的完美指数分布的数字 - 不要这样做，否则您应该做得很好。
• （如果你想作弊：如果你遇到一个大于 1 的数字，只需从它的预期值中找到具有最大差异（即 Max(occurrences

Answer 3

由于对指数分布的支持是 0 到无穷大，无论速率如何，我将假设您要求的指数在 a 以下和 b 以上截断。另一种表达方式是指数随机变量X，以a <= X <= b为条件。

您可以通过将截断分布的累积分布函数 (CDF) 计算为指数密度从 a 到 x 的积分来推导出此反演算法。按a 和b 之间的区域缩放结果（即F(b) - F(a)，其中F(x) 是原始指数分布的CDF），使其成为面积为1 的有效分布。将派生的CDF 设置为U，一个统一的(0,1)随机数，求解X得到反演。

我不会用 C# 编写程序，但这是用 Ruby 表示的结果。它的翻译应该非常透明。

def exp_in_range(a, b, rate = 1.0)
  exp_rate_a = Math.exp(-rate * a)
  return -Math.log(exp_rate_a - rand * (exp_rate_a - Math.exp(-rate * b))) / rate
end

因为您没有指定，所以我将默认速率设置为 1.0，但显然您可以覆盖它。 rand 是 Ruby 内置的统一生成器。我认为其余的都是不言自明的。我针对各种 (a,b) 值创建了几个 100k 观测值的测试集，将结果加载到我最喜欢的 stats 包中，结果符合预期。