单位积分低通滤波器

Question

在图像处理中，特别是在指纹识别中，我必须应用具有单位积分的二维低通滤波器。

这个单位积分是什么意思？另外，如果我选择高斯滤波器，使用什么 sigma？

Answer 1

单位积分意味着掩码或内核的总面积应为 1。例如，3 x 3 平均滤波器意味着掩码中的每个系数都应为 1/9。当您将掩码中的所有元素相加时，它会加到 1。

高斯滤波器固有的单位积分/单位面积为 1。如果您使用 MATLAB，带有gaussian 标志的fspecial 命令将对其掩码进行归一化处理。

但是，如果您想自己创建高斯蒙版，可以使用以下公式：

请记住，(x,y) 是蒙版内相对于中心的位置。因此，如果您有一个 5 x 5 的面具，那么在 row = 2, col = 2、x = 0 和 y = 0。但是，上述等式不会生成单位面积 1。如果在整个 2D 平面上积分，理论上它等于 1。因为我们截断了高斯函数，所以面积不是 1。因此，一旦生成了所有系数，就需要通过对掩码中的每个元素求和来确保总面积为 1。然后，您将这个数字除以掩码中的每个元素。事实上，当您生成高斯掩码时，将指数项乘以等式中的比例因子并不重要。通过确保掩码之和等于1，可以有效去除刻度。您可以只使用指数项来减少一些计算。

就sigma 而言，这完全取决于您。通常人们使用3*sigma 规则的半宽度，因此一维中从左到右的总宽度为6*sigma + 1（包括中心）。为了弄清楚你具体想要什么 sigma，人们会找出图像中 最小特征 的宽度，将其设置为宽度，然后从那里找出 sigma。例如，如果最大宽度为 13，则在等式中重新排列 sigma 会得到 2。换句话说：

13 = 6*sigma + 1
12 = 6*sigma
sigma = 2

因此，您需要将 sigma 设置为 2 并将掩码设置为 13 x 13。有关 3*sigma 规则的更多信息，请查看我在此处的主题帖子：By which measures should I set the size of my Gaussian filter in MATLAB?

创建该蒙版后，使用您希望对图像进行高斯过滤的任何卷积方法。

如果您可以使用 MATLAB，这里还有一篇文章可能会对您有所帮助。

How to make a Gaussian filter in Matlab

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如果您需要使用其他语言，如 C 或 Java，则可以通过以下方式创建高斯掩码：

C/C++

#define WIDTH 13

float sigma = ((float)WIDTH - 1.0f) / 6.0f;
int half_width = (int)(WIDTH / 2.0);
float mask[WIDTH][WIDTH];
float scale = 0.0f;
for (int i = -half_width; i <= half_width; i++) {
    for(int j = -half_width; j <= half_width; j++) {
         mask[i+half_width][j+half_width] = expf( -((float)(i*i + j*j) / (2.0*sigma*sigma)) );
         scale += mask[i+half_width][j+half_width];
    }
}

 for (int i = 0; i < WIDTH; i++)
      for (int j = 0; j < WIDTH; j++)
            mask[i][j] /= scale;

Java

 int WIDTH = 13;     
 float sigma = ((float)WIDTH - 1.0f) / 6.0f);
 int half_width = Math.floor((float)WIDTH / 2.0f);
 float[][] mask = new float[WIDTH][WIDTH];
 float scale = 0.0f;

 for (int i = -half_width; i <= half_width; i++) {
     for (int j = -half_width; j <= half_width; j++) {
          mask[i+half_width][j+half_width] = (float) Math.exp( -((double)(i*i + j*j) /  (2.0*sigma*sigma)) );
          scale += mask[i+half_width][j+half_width];
     }
 }

 for (int i = 0; i < WIDTH; i++)
      for (int j = 0; j < WIDTH; j++)
            mask[i][j] /= scale;

正如我之前提到的，请注意在代码中我不必除以2*pi*sigma^2。同样，原因是当你对内核进行归一化时，这个常数因子无论如何都会被抵消，所以在计算掩码系数时不需要增加任何额外的开销。