估计曲线与高斯分布的相似度（在 Python 中）

Question

我想用 Python 量化测量值曲线与高斯分布的相似度。

给出了两个值数组：

H=(0,5,10,15,20,25,30,35,40,50,70) 是以米为单位的高度

C(H)=(0,1,1,2,4,6,7,5,3,1,0) 是测量量（例如浓度）

在 Python 中有没有办法

a) 将高斯曲线拟合到 C(H)? 的值？

b) 得到某种描述曲线与高斯曲线的相似程度的相似系数？

提前致谢

Answer 1

因为您专门要求提供 Python 代码，所以这里有一个图形 Python 曲线拟合器，它使用您的数据并拟合高斯峰值方程。 RMSE 和 R 平方值应该是衡量相似性的有用指标，因为它们共同描述了数据的高斯拟合质量。

import numpy, scipy, matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

H=(0,5,10,15,20,25,30,35,40,50,70) 
C=(0,1,1,2,4,6,7,5,3,1,0)

xData = numpy.array(H, dtype=float)
yData = numpy.array(C, dtype=float)


def func(x, a, b, c): # Gaussian peak
    return  a * numpy.exp(-0.5 * numpy.power((x-b) / c, 2.0))


# estimate initial parameters from the data
a_est = max(C)
b_est = (max(H) + min(H)) / 2
c_est = max(C)
initialParameters = numpy.array([a_est, b_est, c_est], dtype=float)

# curve fit the test data
fittedParameters, pcov = curve_fit(func, xData, yData, initialParameters)

modelPredictions = func(xData, *fittedParameters) 

absError = modelPredictions - yData

SE = numpy.square(absError) # squared errors
MSE = numpy.mean(SE) # mean squared errors
RMSE = numpy.sqrt(MSE) # Root Mean Squared Error, RMSE
Rsquared = 1.0 - (numpy.var(absError) / numpy.var(yData))

print('Parameters:', fittedParameters)
print('RMSE:', RMSE)
print('R-squared:', Rsquared)

print()


##########################################################
# graphics output section
def ModelAndScatterPlot(graphWidth, graphHeight):
    f = plt.figure(figsize=(graphWidth/100.0, graphHeight/100.0), dpi=100)
    axes = f.add_subplot(111)

    # first the raw data as a scatter plot
    axes.plot(xData, yData,  'D')

    # create data for the fitted equation plot
    xModel = numpy.linspace(min(xData), max(xData))
    yModel = func(xModel, *fittedParameters)

    # now the model as a line plot
    axes.plot(xModel, yModel)

    axes.set_xlabel('X Data') # X axis data label
    axes.set_ylabel('Y Data') # Y axis data label

    plt.show()
    plt.close('all') # clean up after using pyplot

graphWidth = 800
graphHeight = 600
ModelAndScatterPlot(graphWidth, graphHeight)

Answer 2

对于第一个问题，您要问的是是否可以使用 Python 来估计描述您的数据的正常人群的参数。有无限多的估计器可供选择，但如果您要寻找的是最大似然估计，那么这些只是样本均值和样本标准差，您可以使用 vanilla Python 或 NumPy 之类的工具轻松找到：

In [22]: H = [0,5,10,15,20,25,30,35,40,50,70]

In [23]: C = [0,1,1,2,4,6,7,5,3,1,0]

In [24]: a = np.repeat(H, C)

In [25]: a
Out[25]:
array([ 5, 10, 15, 15, 20, 20, 20, 20, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 30, 30, 30,
       30, 30, 30, 30, 35, 35, 35, 35, 35, 40, 40, 40, 50])

In [26]: a.mean(), a.std()
Out[26]: (27.666666666666668, 9.46337971105226)

SciPy 中提供了许多常见分布的参数估计，也可以在这里使用：

In [27]: scipy.stats.norm.fit(a)
Out[27]: (27.666666666666668, 9.46337971105226)

第二个问题相当模糊，但足够具体，答案在于确定正常模型的“goodness of fit”，或者更笼统地说，为您的数据找到合适的“normality test”。维基百科文章列出了一旦您知道要检查的内容就适用的统计测试，但如果没有进一步的假设，就没有灵丹妙药。很有可能像Q–Q plot 这样的定性工具可能会告诉您您想知道什么；对于您给定的样本，这有点难以分辨，但我认为您的实际数据与您在此处提供的数据不同。

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as st
st.probplot(a, dist=st.norm, plot=plt)
plt.show()