理解 Numpy 的 `multivariate_normal` 方法

Question

我希望从具有0 均值和极低标准差 (0.001) 的多元高斯分布生成样本。但是当我绘制结果样本时，我对它们的范围感到困惑。

如果我们查看从标准高斯分布生成的随机样本，它看起来不错。很大一部分样本位于两个轴上的 (-1, +1) 边界内（理想应该是 66%？）。此外，所有样本都在 (-3, +3) 的范围内，这看起来不错。

mean = np.array([0., 0.])
cov1 = np.array([[1., 0.], [0., 1.]])
size = 100

vals1 = np.random.multivariate_normal(mean, cov1, size)
plt.scatter(vals1[:, 0], vals1[:, 1])

现在，当我将标准偏差减小到 0.001 时，我希望样本在 (-0.003, 0.003) 范围内，但它们要高一个数量级。我看到它们位于(-0.06, 0.06) 的范围内。

cov2 = np.array([[0.001, 0.], [0., 0.001]])

vals2 = np.random.multivariate_normal(mean, cov2, size)
plt.scatter(vals2[:, 0], vals2[:, 1])

我想我解释多元高斯样本范围的方式有问题。谁能帮我理解这些结果？谢谢。

Answer 1

如果协方差矩阵是对角矩阵，则其对角元素是每个变量的方差 (σ^2)。所以当你有

cov2 = np.array([[0.001, 0.], [0., 0.001]])

您实际上是在选择每个变量中的标准差 (σ) 为 sqrt(0.001) = 0.03162277660168379。