我应该为浮点值使用什么范围？答案

【问题标题】：What range should I use for floating point values?我应该为浮点值使用什么范围？
【发布时间】：2012-12-16 06:28:15
【问题描述】：

我知道浮点值的实现和限制——我已经阅读了你可能要链接到我的论文——但我不知道我应该为浮点值使用什么范围。

我想在一个真实的、有限的范围内表示一个值。从概念上讲，-1 到 1。我可以只使用浮点值 -1 到 1，但是我是否在浪费尾数位？

有this question，但没有真正确定的答案。

【问题讨论】：

不，你会“浪费”指数位；精度不受范围限制的影响。但这可能不是什么大问题，除非你有一些奇怪的限制。
在该范围内您需要什么精度？
我猜有效数字的 53 位就足够了，所以我敢肯定你会说如果够了就够了，但真正的 solution 是什么？这个问题 - 困扰着我！
@user1941301：我不知道；有什么问题？您是否担心您正在有效地将动态范围减半？（注意，这和精度不一样……）如果你需要表示小于 1e-308 的数字，那我想这是个问题……
@user1941301：抱歉，我的意思是动态范围。具有无符号指数的假设表示只会为您购买 -1e-308 到 +1e-308 范围内的数字。对于超出该范围的任何内容，都没有任何好处。

标签： floating-point

【解决方案1】：

浮点的主要点是点浮动。

这意味着您在 1 附近的相对精度与在 256 附近的相对精度相同。对于绝大多数应用程序，将您的数字缩放到一个或另一个范围内是没有意义的。

在非常具体、挑剔的情况下，可能有理由扩大规模。

一个是如果您需要巨大的动态范围。如果您的数字在 [-1, +1] 中，那么您的最小非零数字将是 2^-1074，采用 IEEE 754 64 位二进制。但是，它会降低精度。具有全精度的最小数字将是 2^-1022。这对于任何正常的事情来说都足够了。如果 1 对应于任何可观测的物理现象（例如，可观测宇宙的质量），那么 2^-1022 低于任何可观测的阈值（大约是 10^-223 倍一个电子的质量）。计算任何对物理事物来说很小的东西根本没有意义——它通常只对数学家感兴趣。如果您正在处理一些特殊的数学应用程序，那么也许您可以从将比例从 [-1, +1] 更改为更大的值（例如 [-2¹⁰²³, +21023]。（但给自己留一些算术空间，不要溢出。）

另一种情况是相对误差很重要，浮点精度几乎不能满足您的需求。表示 1.1 左右的数字的相对误差大于表示 0.9 或 1.9 左右的数字的相对误差。这是由于数字以浮点表示的方式，在每个指数范围内都有一个线性（而不是对数）的有效数字。因此，1.1 左右可用的最小增量与 1.9 左右可用的增量相同，但它们是 1.9 的一小部分，而不是 1.1。这在几乎所有的浮点使用中都无关紧要。它往往只出现在有限的情况下，例如必须对错误进行非常仔细的评估以确保软件质量的数学库。

总结：不要担心范围。让你的浮点数浮动。

【讨论】：