桶的索引计数

Question

所以，这是我的小问题。

假设我有一个桶列表 a₀ ... a_n 分别包含 L 0 ... c_n

桶的顺序很重要。我不能去交换它们。

现在，我想索引这些存储桶，以便：

• 我知道项目的总数
• 我可以查找第 i 个元素
• 我可以在任何存储桶中添加/删除项目并有效地更新索引

看起来很简单吧？看到这些标准，我立即想到了一棵芬威克树。这才是它们真正的意义所在。

但是，当您考虑用例时，会出现一些其他用例：

• 如果桶数下降到 L 以下，桶必须消失（暂时不要担心项目）
• 如果存储桶计数达到 H，则必须创建一个新存储桶，因为该存储桶已满

我还没有弄清楚如何有效地编辑 Fenwick 树：删除/添加一个节点而不重建整个树...

当然我们可以设置 L = 0，这样就不需要移除了，但是添加项目是无法避免的。

那么问题来了：

您是否知道该索引的更好结构或如何更新 Fenwick 树？

主要关注的是效率，因为我确实计划实现它，所以缓存/内存方面的考虑值得担心。

背景：

我正在尝试提出一种类似于 B 树和排名跳过列表但具有本地化索引的结构。这两种结构的问题是索引是沿着数据保存的，这在缓存方面效率低下（即您需要从内存中获取多个页面）。数据库实现表明，保持索引与实际数据隔离对缓存更友好，因此更高效。

Answer 1

我仍然希望得到答案，但是根据@Moron 的建议，到目前为止，我可以提出以下建议。

显然我的小 Fenwick Tree 想法不容易适应。在 fenwick 树的末端添加新的桶很容易，但在中间却不是，所以这是一种失败的原因。

我们剩下 2 个数据结构：二叉索引树（讽刺的是 Fenwick 用来描述他的结构的名字）和排名跳过列表。

通常，这不会将数据与索引分开，但是我们可以通过以下方式获得此行为：

1. 使用间接：节点持有的元素是指向桶的指针，而不是桶本身
2. 使用池分配，以便索引元素，即使彼此独立分配，仍然靠近内存，这将有助于缓存

我更喜欢跳过列表而不是二叉树，因为它们是自组织的，所以我省去了不断重新平衡我的树的麻烦。

这些结构将允许到达O(log N)中的第i个元素，我不知道是否有可能获得更快的渐近性能。

另一个有趣的实现细节是我有一个指向这个元素的指针，但可能已经插入/删除了其他元素，我现在怎么知道我的元素的排名？

如果存储桶指向拥有它的节点，这是可能的。但这意味着要么节点不应该移动，要么它应该在移动时更新存储桶的指针。

Answer 2

我已将您的问题理解为：

每个桶都有一个内部顺序，桶本身也有一个顺序，所以所有元素都有一些顺序，你需要那个顺序中的第 i 个元素。

解决这个问题：

您可以做的是维护一个“累积值”树，其中叶节点 (x1, x2, ..., xn) 是存储桶的大小。节点的值是其直接子节点的值之和。将 n 保持为 2 的幂会使其变得简单（最后您始终可以用零大小的桶填充它），这棵树将是一棵完整的树。

对应每个bucket你会维护一个指向对应叶子节点的指针。

例如，假设桶大小为 2、1、4、8。

树看起来像

     15
    /  \
   3    12
  / \  / \
 2  1  4  8

如果要总计数，读取根节点的值。

如果你想修改一些xk（即改变对应的桶大小），你可以沿着父指针向上走，更新值。

例如，如果您将 4 个项目添加到第二个存储桶，它将是（标有 * 的节点是更改的节点）

     19*
    /   \
   7*    12
  / \   / \
 2  5*  4  8

如果你想找到第 i 个元素，你沿着上面的树走，有效地进行二分搜索。您已经有一个左孩子和右孩子计数。如果 i > 当前节点的左子节点值，则减去左子节点值并在右树中递归。如果 i

假设你想在上面的树中找到第 9 个元素：

因为根的左孩子是 7

由于 2

你在第三个bucket对应的叶子节点。您现在需要选择该存储桶中的第二个元素。

如果您必须添加一个新的桶，您可以通过添加一个新的根，使现有的树成为左子树并添加一个新的树，该树的大小加倍（如果需要），除了您添加的那个之外，其他所有桶（我们是新树最左边的叶子）。这将分摊 O(1) 时间以向树添加新值。需要注意的是，您只能在末尾添加一个存储桶，而不能在中间的任何位置添加。

获取总数是 O(1)。 更新单个存储桶/查找项目是 O(logn)。

添加新存储桶的摊销时间为 O(1)。

空间使用量为 O(n)。

你可以用 B-Tree 代替二叉树。