找到没有元素留在原地的排列答案

【问题标题】：Find the permutations where no element stays in place找到没有元素留在原地的排列
【发布时间】：2010-11-04 16:27:37
【问题描述】：

我正在处理每个元素与其原始位置不同的排列。我想要一个给定{输入长度，行和数字}的算法，会给我输出数字。这是一个例子：

如果输入长度是4，那么0123的所有排列都是：

0123,0132,0213,0231,0312,0321,
1023,1032,1203,1230,1302,1320,
2013,2031,2103,2130,2301,2310,
3012,3021,3102,3120,3201,3210

没有数字在同一位置的排列（每个数字都移动了）：

1032,1230,1302,
2031,2301,2310,
3012,3201,3210

编号从 0 开始，因此如果函数的输入是 {4,0,0}，则输出应该是第 0（第一个）排列的第 0（最左边）数字。 1032的第一位是1。

如果输入是 {4,1,1} 那么输出是 1230 的第二个数字，即 2。

行号可能大于排列数。在这种情况下，取余数模排列数（在上述情况下，行模 9）。

用c语言会很棒。

（不是作业，是工作。Cuckoo hashing，如果你必须知道的话。我想随机选择我将在每个阶段进行的交换，看看当桌子的数量是大于两个。）

【问题讨论】：

除非您在排列上定义部分顺序，否则这个问题确实没有有意义的答案。谁说 0123 必须在 0213 之前？
好评论泰勒。我将排列从最小到最大排序，但我不关心行的顺序，只要输出仅是输入的函数并且每一行的可能性相同。
如果这不是家庭作业，我很抱歉这样标记它。我再次删除了标签。我很确定，特别是因为你把它做成了社区维基。我很抱歉。
所提出的问题似乎需要每次都即时计算所需的排列——O(n!) 工作，有点吓人（大约是 n!n 项排列的 1/e是“紊乱”，即没有固定点，当然乘法常数不会改变大 O 表示法）。是否可以让一个函数“准备数据”，采用输入长度参数，O（n！）一劳永逸地工作；和一个 O(1) 函数来提取所需的数字，因为数据已经准备好了？
顺便说一句，一旦你知道没有固定点的排列被称为“错位”，你就可以在网上找到很多关于这个问题的资料。大多数解决方案涉及生成所有排列并清除非混乱，但也有直接的，例如mathforum.org/library/drmath/view/61957.html，基于将排列表示为循环并直接要求它们只有长度> 1的循环。还有discuss.joelonsoftware.com/default.asp?interview.11.746579.15，尽管讨论和代码还有很多不足之处；-)。

标签： permutation combinatorics

【解决方案1】：

Python 中的蛮力方法（您可以使用它来测试您的 C 实现）：

#!/usr/bin/env python
from itertools import ifilter, islice, permutations

def f(length, row, digit):
    """
    >>> f(4, 0, 0)
    1
    >>> f(4, 1, 1)
    2
    """
    # 1. enumerate all permutations of range (range(3) -> [0,1,2], ..)
    # 2. filter out permutations that have digits inplace
    # 3. get n-th permutation (n -> row)
    # 4. get n-th digit of the permutation (n -> digit)
    return nth(ifilter(not_inplace, permutations(range(length))), row)[digit]

def not_inplace(indexes):
    """Return True if all indexes are not on their places.

    """
    return all(i != d for i, d in enumerate(indexes))

def nth(iterable, n, default=None):
    """Return the nth item or a default value.

    http://docs.python.org/library/itertools.html#recipes
    """
    return next(islice(iterable, n, None), default)

if __name__=="__main__":
    import doctest; doctest.testmod()

【讨论】：

not_inplace = lambda 索引：all(starmap(ne, enumerate(indexes)))

【解决方案2】：

为什么不只是构建一棵树并遍历它？

例如，如果您有数字0123，那么您知道最左边的数字只能来自set {1,2,3}。这将作为您树中的第一层。

那么，如果你沿着从 1 开始的路径下去，你只有三个选项，{0, 2, 3}。如果您在第一级中以 2 开头的路径，您只有两个选项{0,3}（因为您不能在左起第二个数字中使用 1 并且 2 已经使用过（您可以从您的选择列表））等。

在这种方法中要注意的是，如果您到达一个分支的末尾，而 3 是您唯一的选择，在这种情况下，您只需将其删除。

对于n > 10，生成所有排列然后过滤可能会出现问题。我认为建造树会显着减少这一点。

如果需要，您可以即时构建树。您可以通过遍历树的方式来定义您的顺序。

【讨论】：