了解中值选择算法？

Question

我目前在业余时间学习算法，但在学习第 3 章 select() 算法时有以下问题。

我知道如果我使用从 A 到 n 个数字的数组，我可以使用 select() 算法来查找中位数（第 n/2 个最小的数字）。

1) 但这是我难以理解的一点。 A = [3, 7, 5, 1, 4, 2, 6, 2]。假设这是数组。每次调用 Partition() 后数组的内容是什么，每次递归调用 Select() 的参数是什么。

有人可以解释一下他们是如何解决这个问题的吗？

以下是两种算法的伪代码。

Select(A, p, r, k) {
    /* return k-th smallest number in A[p..r] */
    if (p==r) return A[p] /* base case */
    q := Partition(A,p,r)
    len := q – p + 1
    if (k == len) return A[q]
    else if (k<len) return Select(A,p,q-1,k)
    else return Select(A,q+1,r,k-len)
}

第二个代码是

Partition(A, p, r) { /* partition A[p..r] */
    x := A[r] /* pivot */
    i := p-1
    for j := p to r-1 {
        if (A[j] <= x) {
            i++
            swap(A[i], A[j])
        }
    }
    swap(A[i+1], A[r])
    return i+1
}

我正在使用的这本书是 Anne Kaldewaij 的算法推导。

Answer 1

此算法分两步工作。分区步骤通过选择一些枢轴元素，然后重新排列数组的元素，使得小于枢轴的所有元素都位于一侧，大于枢轴的所有元素都位于另一侧，并且枢轴位于正确的位置。例如，给定数组

3  2  5  1  4

如果我们选择一个 3 的枢轴，那么我们可以像这样对数组进行分区：

2  1  3  5  4
+--+  ^  +--+
 ^    |    ^
 |    |    +--- Elements greater than 3
 |    +-------- 3, in the right place
 +------------- Elements less than 3

请注意，我们还没有对数组进行排序；我们刚刚使它更接近被排序。顺便说一下，这是快速排序的第一步。

然后该算法使用以下逻辑。假设我们要按排序顺序找到属于索引 k 的元素（第 k 个最小的元素）。然后，关于我们选择的支点，有三个选项：

1. 枢轴位于位置 k。然后，由于枢轴在正确的位置，我们正在寻找的值必须是枢轴。我们完成了。
2. 枢轴位于大于 k 的位置。那么第 k 个最小的元素必须在数组中枢轴之前的部分中，因此我们可以递归地在数组的该部分中搜索第 k 个最小的元素。
3. 枢轴位于小于 k 的位置。那么第 k 个最小的元素必须在数组的上部区域的某个地方，我们可以在那里递归。

在我们的例子中，假设我们想要第二小的元素（位于位置 2 的元素）。由于枢轴在位置 3 结束，这意味着第二小的元素必须在数组的前半部分中的某个位置，因此我们将递归子数组

2  1

如果我们想要实际的中值元素，因为枢轴最终落在数组的中间，我们只需要输出中值是 3 就可以了。

最后，如果我们想要第四小的元素，那么由于枢轴在位置 4 之前，我们将递归到数组的上半部分，即

5  4

并且会在这里寻找第一个最小的元素，因为在这个区域之前有三个元素。

算法的其余部分是如何进行分区步骤的细节（这可能是算法中涉及最多的部分）以及如何进行是否递归的三向选择（难度稍小） ）。不过，希望这种高级结构有助于算法更有意义。

希望这会有所帮助！