最小化两段路由的最大长度

Question

假设平面上有 N 个起点和 N 个有向线段（有起点和终点）。 N 条路线是通过从某个起点到某个段的开头，然后到该段的结尾来构建的。路线的长度是从起点到路段起点的距离加上路段的长度。问题是在起点和线段之间找到一个（可能是多个）一对一的匹配，以最小化匹配中路线的最大长度。

示例：
X 点：(100 100)
Y 点：(200 200)
Z点：(300 300)
段 S1：开始 (200 230) 结束 (180 220)
段 S2：开始 (190 190) 结束 (400 400)
段 S3：开始 (250 250) 结束 (700 700)
可能的答案之一：
X - S2
Y - S3
Z - S1

我最好的尝试是构建一个从点 i 到段 j 的路线长度的 NxN 矩阵，迭代地过滤掉该矩阵中的最大元素并应用 Hopcroft–Karp 算法来检查 N 对匹配生成的图形过滤矩阵存在。这种方法的最坏情况性能是 O(N^2.5)*O(N²)=O(N^4.5)。有没有更快的算法来解决这个问题？

如果所有点的坐标都是整数并且长度由Manhattan distance定义（即所有长度也是整数），算法是否也可以改进？

Answer 1

之后

构建从点 i 到段 j 的 NxN 路线长度矩阵

您面临的优化问题称为Bottleneck Assignment Problem。

This stack exchange post 讨论了一种“简单”算法，该算法运行时间为 O(N^2.5*log N)。

基本思想是对参数 t 进行二分查找。在每次迭代中，您丢弃所有成本 > t 的配对（矩阵条目）。然后执行二分匹配算法（例如，Hopcroft–Karp）。如果找到完全匹配，则减少 t 的值（将其减半），否则增加 t （将其加倍）。当 t 的可能值不再改变输入时，您可以停止。