b树的顺序

Question

我正在准备考试，结果出现在 B-trees 上。 Wikipedia 将 B-tree 描述为一棵树，其中节点具有至少 d 和最多 2d 个键，因此最多具有 2d+1 个叶子。例如，如果 d=1，它将有最多 2 个键和 3 个子节点，使其成为 2-3 树。但是，除非我弄错了，否则这不会允许例如 2-3-4 树。

然而，我们的材料将 b-tree 描述为每个节点至少有 t>=2 t-1 个键和最多 2t-1 个键的树。这意味着节点具有奇数个键和偶数个子节点。例如 t=2 将有 1 到 3 个键，以及最多 4 个孩子，使其成为 2-3-4 树。另一方面，这种符号不可能是 2-3 树。

除此之外，还有一个 Knuth 的符号，其中 d 表示节点中的最大子节点数。这种表示法将允许偶数和奇数个子节点，同时允许 2-3 棵树和 2-3-4 棵树。

我知道 2-3 树和 2-3-4 树都存在。

什么是真正的符号？有真正的符号吗？作为一个额外的问题；大小为 h 的树中的最大键数是多少？

Answer 1

在 google 学者中搜索 b tree comer => 无处不在的 B-Tree，Comer，1979

这是在数据结构论文中被引用次数最多的论文。本文详细描述了 b 树（它是如何工作的、复杂性和它的变体......）。在那里你应该找到你的答案。

希望对你有帮助

附言如果您使用与所教公式不同的公式，请在考试中引用该论文：P

Answer 2

如果您仔细阅读 wiki 文章，您会发现 B 树有两种主要变体（不包括 B* 和 B+ 等结构变体），一种具有 t -> 2t 键，一个带有t -> 2t+1 键。

将这些变体翻译成#children，我们有一个带有t+1 -> 2t+1 children，一个带有t+1 -> 2t+2 children。

所以基本上回答你的问题，2-3 和 2-3-4 树都是有效的树，每个树都有不同的变体/定义：

2-3 属于第一类（t+1 -> 2t+1 children where t=1）

2-3-4 属于第二种（t+1 -> 2t+2 children where t=1）

这两种变体的有效性源于拆分和合并（从/到 ADT 中删除和插入的操作）都是有效的：

t -> 2t:

拆分。 当我们添加一个新元素并且一个节点的键数超过最大数量时发生2t 所以我们有2t+1 键，我们将节点拆分为两个节点，并将一个元素推送到父节点，将2t 键留在两个子节点中，t 键在每个子节点中。这是可以接受的，因为节点中的最小键数确实是t。

合并。 当我们删除一个键并且一个节点包含小于最小数量t，并且它的兄弟节点也处于最小值时会发生这种情况。所以我们的新合并节点中有t-1 + t 键，结果节点必须有效：t-1 + t = 2t-1 <= 2t。太好了。

t 也是如此 -> 2t+1:

拆分。 2t+2 变成 t 和 t+1 没关系。

合并。 t-1 + t = 2t-1 <= 2t+1

当然在运行时间上没有区别，这只是在理论上没有多大意义的轻微实现差异（您可以使用第一个变体稍微优化一些算法，但不会改变运行时间的复杂性）。