四元数旋转不能正常工作

Question

在 OpenGL ES 1 for android 中，我有一个由 27 个较小的立方体组成的 Rubic 立方体。我想要导致特定小立方体正好在视点前面的旋转。所以我需要两个向量。一个是从对象的原点到特定立方体的向量。另一个是从原点到视点的向量。然后它们的叉积给我旋转轴，点积给我角度。

我将 (0,0,1)（从原点到世界坐标中的视点的向量）转换为对象坐标。这是代码：

    matrixGrabber.getCurrentModelView(gl);
    temporaryMatrix.set(matrixGrabber.mModelView);

    inputVector[0] = 0f; 
    inputVector[1] = 0f;
    inputVector[2] = 1f;
    inputVector[3] = 1f;
    Matrix.multiplyMV(resultVector, 0, temporaryMatrix.InvertMatrix(), 0, inputVector,0);
    resultVector[0]/=resultVector[3];
    resultVector[1]/=resultVector[3];
    resultVector[2]/=resultVector[3];

    inputVector = ..... // appropriate vector due to user-selection 

    axis = Vector.normalized(Vector.crossProduct(Vector.normalized(inputVector), Vector.normalized(resultVector)));
    degree = (float)Math.toDegrees(Math.acos(Vector.dot(Vector.normalized(inputVector), Vector.normalized(resultVector))));

我使用两个四元数进行旋转。每次用户选择一个动作时，应该发生一个旋转。这是代码：

    Quaternion currentRotation = new Quaternion();
    Quaternion temporaryRotation = new Quaternion();
    .
    .
    .
     currentRotation = (currentRotation).mulLeft(temporaryRotation.set(axis, degree));
     currentRotation.toMatrix(matrix);
     gl.glMatrixMode(GL10.GL_MODELVIEW);
     gl.glMultMatrixf(matrix, 0);

现在的问题是它在第一次旋转时效果很好。无论第一次轮换是什么。它运作良好，但对于下一次旋转，它似乎得到了错误的轴和度数。

例如，如果坐标系是

• X-right (1,0,0)
• 向上 (0,1,0)
• Z-in (0,0,1)

然后第一次绕 X 90 度逆时针 (CCW) 旋转产生

• X'-右 (1,0,0)
• Y'-in (0,0,1)
• Z'-down (0,-1,0)

第二次绕 Z 旋转 90 度 CCW 产生

• X'-in (0,1,0)
• Y'-左 (-1,0,0)
• Z'-down (0,-1,0)

但我期待

• 向上 (0,1,0)
• Y-in (0,0,1)
• Z-right(1,0,0)

我认为问题在于 resultVector（我使用的第二个从原点到视点的向量）没有正确转换。任何人都知道如何将世界坐标转换为对象坐标？有谁知道物体旋转后如何确定物体坐标？

Answer 1

昨天我决定编写 Rubic Cube 拼图代码，因为我过去尝试过的任何游戏都让我感到非常不舒服，最后我终于有了一些心情/时间来自己编写代码。我已经完成了，这里是我的见解：

1. 魔方表示

   我不认为四元数是一个好的选择。相反，我更喜欢：

   • 4x4 uniform transform matrices

   所以我最终得到了3*3*3=27 变换矩阵的列表以及一个额外的用于整个立方体旋转的矩阵。在起始状态下，所有子立方体都有单位旋转部分，并且原点设置为覆盖{ -1 , 0 ,+1 }的所有组合以填充整个魔方（每个子立方体网格的大小为1.0并以(0,0,0)为中心）

   我的多维数据集在 C++ 代码中定义如下：

   reper cube[27]; // reper is transform matrix
   

2. 图形界面

   我希望控制和观看尽可能接近真实。所以旋转由鼠标控制，只需单击目标子立方体（在area0 或area1），然后从鼠标拖动的方向决定哪个轴和哪个方向旋转。

   从起始位置没有问题（因为即使您的代码也适用于此）。问题从下一次旋转开始（尤其是在改变旋转轴时），因为局部坐标系已经改变。全局视图旋转也是如此，因为它会搞砸所有这些。

3. 如何修正局部坐标系的变化？

   我想出了一个模糊的解决方案，我首先匹配每个坐标系中的轴。为了检测哪个轴是哪个轴，我只需对查询的方向与变换矩阵的所有轴进行点积，然后选择绝对点积最高的轴。该符号只是说明坐标系是否相反（意味着应该反转旋转）。

   在 C++ 和 OpenGL 样式矩阵中，它看起来像这样：

   void RubiCube::axises_unit(reper &rep,int &x,int &y,int &z,int &sx,int &sy,int &sz)
       {
       int i;
       double p[3],xyz[3][3],a,b;
       rep.axisx_get(xyz[0]);
       rep.axisy_get(xyz[1]);
       rep.axisz_get(xyz[2]);
       vector_ld(p,1.0,0.0,0.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { x=i; b=a; } } sx=+1; if (b<0) sx=-1;
       vector_ld(p,0.0,1.0,0.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { y=i; b=a; } } sy=+1; if (b<0) sy=-1;
       vector_ld(p,0.0,0.0,1.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { z=i; b=a; } } sz=+1; if (b<0) sz=-1;
       }
   

   其中reper 是包含直接和逆变换矩阵的类。 get_axis 只是在直接矩阵内部窥视并返回选定的轴方向单位向量。 vector_mul 是点积，vector_ld 只是用 x,y,z 坐标填充 3D 矢量。

   因为我还得到了与单位矩阵轴不对齐的全局立方体矩阵（因为它被旋转，所以视图看起来像上图）然后我需要对特殊向量（初始视图矩阵值）进行此轴匹配在我的情况下是这样的：

   void RubiCube::axises_obj(reper &rep,int &x,int &y,int &z,int &sx,int &sy,int &sz)
       {
       int i;
       double p[3],xyz[3][3],a,b;
       rep.axisx_get(xyz[0]);
       rep.axisy_get(xyz[1]);
       rep.axisz_get(xyz[2]);
       vector_ld(p,+0.707,-0.299,-0.641); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { x=i; b=a; } } sx=+1; if (b<0) sx=-1;
       vector_ld(p,-0.000,-0.906,+0.423); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { y=i; b=a; } } sy=+1; if (b<0) sy=-1;
       vector_ld(p,-0.707,-0.299,-0.641); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { z=i; b=a; } } sz=+1; if (b<0) sz=-1;
       }
   

   两个函数都返回哪个轴是哪个x,y,z，以及与单位变换矩阵相比方向是否相反 (sx,sy,sz)。

4. 切片旋转

   这是拼图的核心。它简单地绕轴转动切片。这用于动画，因此角度步长很小（我使用 9 度），但整个转弯必须总共 90 度，否则 Rubic Cube 会损坏。

   void RubiCube::cube_rotate(int axis,int slice,double ang)
       {
       int j,k,a[3],s[3];
       double p[3],p0[3]={0.0,0.0,0.0},lang;
       reper *r;
       _redraw=true;
       for (k=0;k<27;k++)
           {
           r=&cube[k];
           // local axis,sign
           axises_unit(*r,a[0],a[1],a[2],s[0],s[1],s[2]);
           // lang is local signed angle change
           lang=ang; if (s[axis]<0) lang=-lang;
           // select slice
           r->gpos_get(p);
           j=round(p[axis]+1.0);
           if (j!=slice) continue;
           // rotate global position
           if (axis==0) vector_rotx(p0,p,+ang);
           if (axis==1) vector_roty(p0,p,-ang);
           if (axis==2) vector_rotz(p0,p,+ang);
           r->gpos_set(p);
           // rotate local cube orientation
           if (a[axis]==0) r->lrotx(-lang);
           if (a[axis]==1) r->lroty(-lang);
           if (a[axis]==2) r->lrotz(-lang);
           }
       }
   

   reper::gpos_get 将矩阵原点返回为 3D 向量（点），reper::gpos_set 基本上设置了新的矩阵位置。 vector_rotx(p0,p,a) 将矢量 p 围绕 p0 和轴 x 旋转角度 a。 +/- 标志仅与 reper 类的旋转匹配（我在某处有所不同）。 reper::lrotx 围绕其本地 x 轴旋转 reper 以获取更多信息，请参阅第一个链接。

   如您所见，我直接使用每个矩阵原点坐标作为拓扑来选择切片立方体。

在这里你可以试试我的演示： Win32+OpenGL Rubic Cube Demo

这里是一些转弯的动画 gif：

[Edit1] 我在 RubiCube 中添加了简单的求解器

为了实现求解器，我添加了根据我的 RubiCube 内部表示计算的表面平面颜色图（在左侧...中间的正方形是我使用的边的名称和索引）。我还为求解器添加了内部命令 que（右侧的轴和方向）：

每个命令由 2 个字符串表示：

edge slice  CW: R L U D F B
edge slice CCW: R'L'U'D'F'B'
mid  slice  CW: R0L0U0D0F0B0
whole cube  CW: RcLcUcDcFcBc

地图是这样的：

int map[6][3][3];

其中map[side][u][v] 包含侧面s、行u 和列v 的颜色。我实现了简单的7 steps solution（就像人类解决真正的立方体）：

1. 输入状态（不是步骤）
2. 白十字黄中（黄中朝前）
3. 白色十字（白色中间朝前）
4. 白色边角（白色面朝下）
5. 中间层（使用前 3 个命令）
6. 顶层黄色十字（使用第四条命令）
7. 重新排序交叉以使边匹配（第 5 个命令）并重新排序角（第 6 个命令）
8. 定位顶层角以完成立方体（第 7 个命令）

求解器很简单，并且对字符串进行操作（未优化），所以它有点慢，但无论如何，完整的解决方案在我的设置中最多只需要 50 毫秒。您可以在这里尝试升级后的演示：

• Win32+OpenGL Rubic Cube Demo with solver

求解时可能仍有一些未定义的情况（由于代码中的错误或遗漏的情况）。在这种情况下，应用程序会粗略挂起（尚未实现看门狗）。密钥在包含的文本文件中进行了描述。

我使用了轻量级求解器（大约 300 行代码），因此找到的解决方案远非最优。例如，我只测试一个角而不是测试 4 个角，然后循环旋转立方体，导致不必要的转弯。其中一些后来被过滤掉了，但平均人类（我的）解决方案最多 200 圈，而这个求解器返回最多 300 圈（在最坏的情况下我发现到现在）。

Answer 2

发生的情况是，当您将此变换应用于模型（在您的情况下为旋转）时，您也会旋转它的基向量。把它想象成你也会旋转你的坐标系，或者你是从模型的第一人称视角看的。您所做的每一次转换都会影响下一次转换。

由于您通常希望保留自己的坐标系，因此您可能需要考虑围绕立方体移动相机而不是旋转立方体。我相信您可以在您的 API 或 Web 上找到“lookAt”方法。它应该采用 3 个向量：cameraPosition、lookAtPoint、upVector。使用这种方法，您可以将立方体定位到 (0,0,0)，这也是您的“lookAtPoint”，第一个 cameraPosition 应该类似于 (0,0,-1)，第一个 upVector 到 (0,1,0)。现在进行运动（您可能只使用左/右和上/下作为输入）： 要上/下（围绕 X 旋转），您接下来执行以下操作：

originalDistance = (cameraPosition-objectPosition).lenght
leftVector = normalizedVector(crossProduct(camearPosition, upVector))//generaly cameraPosition-objectPosition
camearPosition = cameraPosition + upVector*inputScalar //inputScalar should be a small floating value
cameraPosition = normalizedVector(cameraPosition)*originalDistance //put camera to original distance from object
upVector = normalizedVector(crossProduct(cameraPosition, leftVector))//generaly cameraPosition-objectPosition

要向左/向右（围绕 X 旋转），您接下来执行以下操作：

originalDistance = (cameraPosition-objectPosition).lenght
leftVector = normalizedVector(crossProduct(camearPosition, upVector))//generaly cameraPosition-objectPosition
camearPosition = cameraPosition + leftVector*inputScalar //inputScalar should be a small floating value
cameraPosition = normalizedVector(cameraPosition)*originalDistance //put camera to original distance from object
leftVector = normalizedVector(crossProduct(cameraPosition, upVector))//generaly cameraPosition-objectPosition
upVector = normalizedVector(crossProduct(cameraPosition, leftVector))//generaly cameraPosition-objectPosition

这通常应该可以解决问题..（如果我写错了，请告诉我）

至于您旋转对象本身的方法，您应该找出对象自身坐标系中的四元数并围绕该坐标系旋转它。如果你有一些数学技能，这也很容易。除此之外，您还可以只定义 2 个角度 (X,Y) 并通过输入直接更改它们并使用 (1,0,0,X) 和 (0,1,0,Y) 的四元数，但可能存在问题当 Y 为 90 度时这种方法..

我希望这会有所帮助。