相交线与二次贝塞尔三角形

Question

我正在尝试为我的 OpenCL 实时光线追踪器找到线段和二次贝塞尔三角形之间的交点。

这个问题Detect&find intersection ray vs. cubic bezier triangle 讨论了寻找射线和三次贝塞尔三角形之间的碰撞点，主要建议是尝试细分或张量积贝塞尔补丁。

我在一些地方读到过，在针对二次贝塞尔三角形测试线段时，您最终只需要求解二次方程，但我没有找到任何关于该方程实际是什么的信息，并且我开始怀疑这是不是真的。到目前为止，我试图找到它的尝试也失败了：P

除了使用细分或张量积贝塞尔补丁之外，有谁知道这是否属实或如何解决？

这是二次贝塞尔三角形的方程：

AS^2 + 2*DST + 2*ESU + B*T^2 + 2*FT U + C*U^2

其中 S,T,U 是三角形的参数。您可以将 U 替换为 (1-S-T)，因为它们是重心坐标。

A,B,C 是三角形的角，D,E,F 是沿边的控制点。

超级难倒这个！

Answer 1

当您的贝塞尔面片有 3 条以上的边时，光线交点不再是解析的（即使边上的样条线只是二次曲线），并且足够精确的迭代方法会明显变慢。由于固有的递归，Bezier 补丁在性能方面是可悲的，您可能希望对傅立叶补丁进行 FFT。 Shadertoy.com [iq] 有各种“扭曲的立方体相交”（不通过 sphere-tracking==raymarching 进行迭代，这是有效的，但也会导致许多低精度情况下的伪影，其中迭代的收敛太慢）。

是的，三角形-贝塞尔补丁交点只有解析二次复杂度（边界上有二次贝塞尔曲线），但它涉及一些预计算（除非它已经在重心坐标中），这会显着降低结果精度（重心加 1全局划分，并总结所有领域）

2019 年在 opengl 中的 shadertoy 上解决了这个问题（很糟糕，因为它有 1 个错误情况和太低的精度）： https://www.shadertoy.com/view/XsjSDt 我稍微优化了它（修复了精度问题，添加了相机和剔除）： https://www.shadertoy.com/view/ttjSzw + https://www.shadertoy.com/view/wlSyzd 还看到， https://www.reddit.com/r/askmath/comments/sfn8mk/analytic_intersection_ray/

Answer 2

线段有参数方程P = P0+(P1-P0)*v=P0+d*v，其中v是参数[0..1] 要找到与蛮力的交点，您必须求解三个二次方程组，例如

x0+dx*v=AxS^2 + 2*Dx*S*T + 2*Ex*S*U + Bx*T^2 + 2*Fx*T*U + Cx*U^2

这个系统有 8 种可能的解，只有当结果 v,s,t 同时位于 0..1 范围内时，交集才存在。解决这个系统并不容易（可能的方法 - Gröbner basis，数值方法和求解过程可能在数值上不稳定）。这就是为什么有时推荐使用细分方法的原因。