我们能否从矩阵中得到不同的 eigenVectors 解决方案？答案

【问题标题】：Could we get different solutions for eigenVectors from a matrix?我们能否从矩阵中得到不同的 eigenVectors 解决方案？
【发布时间】：2012-10-14 00:26:56
【问题描述】：

我的目的是找到一个矩阵的特征向量。在 Matlab 中，有一个[V,D] = eig(M) 可以使用：[V,D] = eig(M) 来获取矩阵的特征向量。或者，我使用网站 WolframAlpha 来仔细检查我的结果。

我们有一个名为M 的10X10 矩阵：

0.736538062307847   -0.638137874226607  -0.409041107160722  -0.221115060391256  -0.947102932298308  0.0307937582853794  1.23891356582639    1.23213871779652    0.763885436104244   -0.805948245321096
-1.00495215920171   -0.563583317483057  -0.250162608745252  0.0837145788064272  -0.201241986127792  -0.0351472158148094 -1.36303599752928   0.00983020375259212 -0.627205458137858  0.415060573134481
0.372470672825535   -0.356014310976260  -0.331871925811400  0.151334279460039   0.0983275066581362  -0.0189726910991071 0.0261595600177302  -0.752014960080128  -0.00643718050231003    0.802097123260581
1.26898635468390    -0.444779390923673  0.524988731629985   0.908008064819586   -1.66569084499144   -0.197045800083481  1.04250295411159    -0.826891197039745  2.22636770820512    0.226979917020922
-0.307384714237346  0.00930402052877782 0.213893752473805   -1.05326116146192   -0.487883985126739  0.0237598951768898  -0.224080566774865  0.153775526014521   -1.93899137944122   -0.300158630162419
7.04441299430365    -1.34338456640793   -0.461083493351887  5.30708311554706    -3.82919170270243   -2.18976040860706   6.38272280044908    2.33331906669527    9.21369926457948    -2.11599193328696
1   0   0   0   0   0   0   0   0   0
0   1   0   0   0   0   0   0   0   0
0   0   0   1   0   0   0   0   0   0
0   0   0   0   0   0   1   0   0   0

D：

2.84950796497613 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i
0.00000000000000 + 0.00000000000000i    1.08333535157800 + 0.971374792725758i   0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i
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0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    -2.05253164206377 + 0.00000000000000i   0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i
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0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    -1.41036956613286 - 0.354930202789307i  0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i
0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    -0.374014257422547 + 0.00000000000000i  0.00000000000000 + 0.00000000000000i
0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.00000000000000 + 0.00000000000000i    0.165579401742139 + 0.00000000000000i

V：

-0.118788118233448 + 0.00000000000000i  0.458452024790792 + 0.00000000000000i   0.458452024790792 + -0.00000000000000i  -0.00893883603500744 + 0.00000000000000i    -0.343151745490688 - 0.0619235203325516i    -0.343151745490688 + 0.0619235203325516i    -0.415371644459693 + 0.00000000000000i  -0.415371644459693 + -0.00000000000000i -0.0432672840354827 + 0.00000000000000i 0.0205670999343567 + 0.00000000000000i
0.0644460666316380 + 0.00000000000000i  -0.257319460426423 + 0.297135138351391i -0.257319460426423 - 0.297135138351391i 0.000668740843331284 + 0.00000000000000i    -0.240349418297316 + 0.162117384568559i -0.240349418297316 - 0.162117384568559i -0.101240986260631 + 0.370051721507625i -0.101240986260631 - 0.370051721507625i 0.182133003667802 + 0.00000000000000i   0.0870047828436781 + 0.00000000000000i
-0.0349638967773464 + 0.00000000000000i -0.0481533171088709 - 0.333551383088345i    -0.0481533171088709 + 0.333551383088345i    -5.00304864960391e-05 + 0.00000000000000i   -0.0491721720673945 + 0.235973015480054i    -0.0491721720673945 - 0.235973015480054i    0.305000451960374 + 0.180389787086258i  0.305000451960374 - 0.180389787086258i  -0.766686233364027 + 0.00000000000000i  0.368055402163444 + 0.00000000000000i
-0.328483258287378 + 0.00000000000000i  -0.321235466934363 - 0.0865401147007471i    -0.321235466934363 + 0.0865401147007471i    -0.0942807049530764 + 0.00000000000000i -0.0354015249204485 + 0.395526630779543i    -0.0354015249204485 - 0.395526630779543i    -0.0584777280581259 - 0.342389123727367i    -0.0584777280581259 + 0.342389123727367i    0.0341847135233905 + 0.00000000000000i  -0.00637190625187862 + 0.00000000000000i
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-0.908350536903352 + 0.00000000000000i  0.208752559894992 + 0.121276611951418i  0.208752559894992 - 0.121276611951418i  -0.994408141243082 + 0.00000000000000i  0.452243212306010 + 0.00000000000000i   0.452243212306010 + -0.00000000000000i  0.273997199582534 - 0.0964058973906923i 0.273997199582534 + 0.0964058973906923i -0.0270087356931836 + 0.00000000000000i 0.00197408431000798 + 0.00000000000000i
-0.0416872385315279 + 0.00000000000000i 0.234583850413183 - 0.210340074973091i  0.234583850413183 + 0.210340074973091i  0.00435502958971167 + 0.00000000000000i 0.160642433241717 + 0.218916331789935i  0.160642433241717 - 0.218916331789935i  0.276971588308683 + 0.0697020017773242i 0.276971588308683 - 0.0697020017773242i 0.115683515205146 + 0.00000000000000i   0.124212913671392 + 0.00000000000000i
0.0226165595687948 + 0.00000000000000i  0.00466011130798999 + 0.270099580217056i    0.00466011130798999 - 0.270099580217056i    -0.000325812684017280 + 0.00000000000000i   0.222664282388928 + 0.0372585184944646i 0.222664282388928 - 0.0372585184944646i 0.129604953142137 - 0.229763189016417i  0.129604953142137 + 0.229763189016417i  -0.486968076893485 + 0.00000000000000i  0.525456559984271 + 0.00000000000000i
-0.115277185508808 + 0.00000000000000i  -0.204076984892299 + 0.103102999488027i -0.204076984892299 - 0.103102999488027i 0.0459338618810664 + 0.00000000000000i  0.232009172507840 - 0.204443701767505i  0.232009172507840 + 0.204443701767505i  -0.0184618718969471 + 0.238119465887194i    -0.0184618718969471 - 0.238119465887194i    -0.0913994930540061 + 0.00000000000000i -0.0384824814248494 + 0.00000000000000i
-0.0146296269545178 + 0.00000000000000i 0.0235283849818557 - 0.215256480570249i 0.0235283849818557 + 0.215256480570249i -0.00212178438590738 + 0.00000000000000i    0.0266030060993678 - 0.209766836873709i 0.0266030060993678 + 0.209766836873709i -0.172989400304240 - 0.0929551855455724i    -0.172989400304240 + 0.0929551855455724i    -0.309302420721495 + 0.00000000000000i  0.750171291624984 + 0.00000000000000i

我得到了以下结果：

原始矩阵：

WolframAlpha 的结果：

Matlab Eig 的结果：

D（特征值）

V（特征向量）

是否有可能为 eigenVectors 获得不同的解决方案，或者它应该是一个独特的答案。我有兴趣澄清这个概念。

【问题讨论】：

标签： matlab linear-algebra eigenvector eigenvalue wolframalpha

【解决方案1】：

特征向量不是唯一的，原因有很多。改变符号，一个特征向量仍然是相同特征值的特征向量。事实上，乘以任何常数，特征向量仍然如此。不同的工具有时可以选择不同的规范化。

如果特征值的重数大于 1，则特征向量也不是唯一的，只要它们跨越相同的子空间。

【讨论】：

它也适用于虚部吗？ [在 eigenVector 中] 或者换一种说法：当我们使用不同的归一化时，我们会得到不同的 eigenVector。到目前为止一切都很好......如果我们想象的其余方法的解决方案/答案之一的虚部是 ZERO，我们能否说出我们从任何计算方法中获得的 eigenVectors 的结果对应答案的部分为零？
我可以将一个特征向量乘以任何复数，包括 i=sqrt(-1)，它仍然是一个特征向量。所以你不能声称你想要什么。
我想看看我是否可以将它作为一项规则用于某些工作实施。 EX）想象特征向量 V[i,j] 中的一个元素等于通过方法 A 计算的 a+bi。使用另一种方法 B：它是同一位置 V[i,j] 中的 a'+ b'i。我们能否说这两个不同的答案（ a+bi AND a'+ b'i ）是对应的答案。 [如果是，是否有必要满足以下条件：a^2 + b^2 = a'^2 + b'^2 ]
你不能从一个单一的元素说任何话。

【解决方案2】：

正如 woodchips 指出的 (+1)，特征向量仅在线性变换之前是唯一的。这一事实从定义中很明显，即特征向量/特征值对求解特征函数 A*v = k*v，其中 A 为矩阵，v 为特征向量，k 为特征值。

让我们考虑一个比你的（看起来很可怕的）问题更简单的例子：

M = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
[EigVec, EigVal] = eig(M);

Matlab 产量：

EigVec =
-0.2320   -0.7858    0.4082
-0.5253   -0.0868   -0.8165
-0.8187    0.6123    0.4082

而 Mathematica 产生：

EigVec = 
0.2833    -1.2833    1
0.6417    -0.1417    -2
1         1          1

来自 Matlab 文档：

“对于 eig(A)，特征向量被缩放，使得每个的范数都是 1.0。”。

另一方面，Mathematica 清楚地缩放特征向量，以便最终元素是统一的。

即使只是观察我给出的输出，您也可以开始看到关系出现（特别是比较两个输出的第三个特征向量）。

顺便说一句，我建议您编辑您的问题以使用更简单的输入矩阵M，例如我在这里使用的那个。这将使将来访问此页面的任何人都更具可读性。这实际上不是一个糟糕的问题，但它当前的格式可能会导致它被否决。

【讨论】：

为什么在某些方法中 eigenVectors 具有虚值而在某些方法中没有？
@farzinparsa 求特征值的问题可以等同于求多项式根的问题。任何关于线性代数的好文章都应该证明这一点。现在，众所周知，多项式的根可以是虚数（例如，想想高中的quadratic formula）。因此特征值和特征向量可能是复杂的。是否有保证真实特征值的条件？是的，如果矩阵是对称的，则其特征值将是实数。这些东西在线性代数的任何标准文本中都有。

【解决方案3】：

我完全同意 Mr.Colin T Bowers 的观点，即 MATHEMATICA 会进行归一化，以便 EigenVectors 的最后一个值变为一个。如果有人想生成像 MATHEMATICA 这样的 EigenVectors 结果，请使用 MATLAB，然后我们可以告诉 MATLAB 使用以下标准化步骤将 EigenVectors 结果的最后一个值标准化为 1。

M = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];

[EigVec, EigVal] = eig(M);

sf=1./EigVec(end,:); %get the last value of each eigen vector and inverse for scale factor

sf=repmat(sf,size(EigVec,1),1); % Repeat Scale value of each element in the vector

Normalize_EigVec=EigVec.*sf;

Normalize_EigVec =

    0.2833   -1.2833    1.0000
    0.6417   -0.1417   -2.0000
    1.0000    1.0000    1.0000

【讨论】：

它也适用于虚部吗？ [在 eigenVector 中] 或者换一种说法：当我们使用不同的归一化时，我们会得到不同的 eigenVector。到目前为止一切都很好......如果解决方案/答案之一的虚部为零，我们能否说我们为特征向量（来自任何计算方法）得到的结果，对于其他方法，我们的虚部将为零对应的答案?
我刚收到一条通知，您尝试编辑我的答案并将其替换为您的答案。我猜您以为您正在编辑自己的答案，但不小心点击了我的答案:-) 无论如何，没问题，版主选择了它并阻止了编辑。顺便说一句，这是对我的回答的一个巧妙的小扩展 - 值得 +1。
@Colin T Bowers：我没有，我问了一个问题并寻找答案。我没有任何可以替换的答案:) 我想看看我是否可以将它作为一项规则用于某些工作实施。 EX）想象特征向量 V[i,j] 中的一个元素等于通过方法 A 计算的 a+bi。使用另一种方法 B：它是同一位置 V[i,j] 中的 a'+ b'i。我们能否说这两个不同的答案（ a+bi AND a'+ b'i ）是对应的答案。 [如果是，是否有必要满足以下条件：a^2 + b^2 = a'^2 + b'^2 ]
@farzinparsa 我的评论是针对veeresh，而不是您:-) 关于您的问题，最好说这两个答案同样有效。我不认为你所说的条件是必要或充分的。

【解决方案4】：

正如 Rody 指出的那样，Mathematica 使用的规范化是使最后一个元素统一。其他 eig 函数，如 QZ 算法（例如，由于不支持 Cholesky，您必须在 Matlab 编码器中使用它），不要像 Matlab 对 [V, lam] = eig(C) 所做的那样规范化。例如：[V,lam]= eig(C,eye(size(C)),'qz');

来自文档http://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/eig.html

注意：对于 eig(A)，特征向量被缩放，使得每个的范数为 1.0。对于 eig(A,B)、eig(A,'nobalance') 和 eig(A,B,flag)，特征向量未归一化。另请注意，如果 A 是对称的，则 eig(A,'nobalance') 会忽略 nobalance 选项，因为 A 已经是平衡的。

对于[V, lam]=eig(C);特征向量被缩放，使得每个的范数都是 1.0。 这就是我们需要的。 Matlab 对 Cholesky 公式进行了这样的处理，那么，如何重新归一化 QZ 产生的特征向量，使它们具有相同的比例？像这样：

W = V;
for i = 1:size(V,2) % for each column
    V(:,i) = V(:,i) / norm(V(:,i), 2);  % Normalize column i
end

这将找到每个向量的长度并将元素除以该长度以缩放向量。 Mathamatica 基本上做同样的事情，使最后一个元素为 1，而不是对向量进行归一化。 http://www.fundza.com/vectors/normalize/

请注意，向量和值的顺序不一定相同，因此您可能仍需要对它们进行排序。 Matlab 的 Cholesky 算法按如下排序顺序生成项目：

lam=diag(lam);
[sorted_lam,index]=sort(lam);
for cont=1:length(sorted_lam)
   sorted_V(:,cont)=V(:,index(cont));
end
W=sorted_W;
lam = diag(sorted_lam);

即使这样做了，符号也可能不会指向同一方向（如果特征向量乘以 -1，它们仍然是特征向量）。请注意，必须对 lambda（特征值）应用相同的排序，否则它们将无序。

如果列中的第一个元素是负数，典型的约定是对列的符号进行 filp。

如果超过 2 个为负数，您可以做的一件事是翻转符号：

%FLIP SIGNS IF MORE THAN 2 ARE NEGATIVE
W=sorted_W;
for i = 1:size(W,2) % for each column in V
    A = W(:,i);
    s=sign(A);
    inegatif=sum(s(:)==-1);
    if(inegatif>1)
        W(:,i) = -W(:,i);
    end
end

但这只有在元素不接近 0 时才真正有帮助，因为如果它们接近 0，不同的算法可能会在 0 的另一侧找到值，但总比没有好。

最后一件事，对于“B”值（广义特征值问题输入矩阵），我使用的是“eye(size(C))”。 是否有选择“B”的最佳方法来改进此算法并使其给出更接近 Cholesky 的答案或更准确的答案？您可以使用任何（相同大小的实矩阵）值作为B 再次包括 A 或 A'（A 是输入矩阵），但 什么是“好选择？” 可能是 A'，我注意到某些输入是 3x3 -1 似乎给出的答案与“chol”接近？

https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/eig.html?searchHighlight=eig&s_tid=doc_srchtitle#inputarg_B

【讨论】：