给定 A∧B 仅使用 → 和 ⊕(Xor) 的等价物是什么

Question

考虑仅由 → 和 ⊕ 组成的连接词集，其中 ⊕ 是异或连接词：当且仅当 A 和 B 具有相反的真值（一个为真，另一个为假）时，A⊕B 为真.

给定 A∧B 仅使用 → 和 ⊕(Xor) 的等效公式是什么。

Answer 1

假设 -> 是the material conditional。

A and B is equivalent to not(A implies not B)

not C is equivalent to (C implies C) xor C

所以

not B is equivalent to (B implies B) xor B)

和

A implies not B  equivalent to A implies ((B implies B) xor B))

终于等价的表达式是

((A implies ((B implies B) xor B)) implies (A implies ((B implies B) xor B)))xor (A implies ((B implies B) xor B)) 

在你的符号中：

((A → ((B → B) ⊕ B)) → (A → ((B → B) ⊕ B)))⊕ (A → ((B → B) ⊕ B)) 

稍加注意，您肯定可以最小化这些公式

检查最终公式on wolfram alpha

回答此类问题的一般框架是functional completness。 mathoverflow 的人可能会有所帮助。

编辑

我把长公式弄得一团糟，现在更正