即使 int 以 10^9+7 为模，也会溢出答案

【问题标题】：Oveflow even when an int is mod by 10^9+7即使 int 以 10^9+7 为模，也会溢出
【发布时间】：2019-02-18 07:10:05
【问题描述】：

我为数字的阶乘编写了以下代码：

long int fac[max+1];
    fac[0]=1;


    for(int j=1;j<=max;j++)
        {
            fac[j]=(fac[j-1]*j)%1000000007;
        }


    //Printing
    for(int i=0;i<T;i++)
        {
            cout<<fac[N[i]]<<"\n";
        }

这对于 long int 非常有效，但是如果我们将数组更改为 int，我们会得到错误的答案。

请告诉我为什么当 int 的范围大于 10^9+7 时会发生这种情况。

【问题讨论】：

请注意 long int 与 Windows 中的 int 相同。如果您想要有保证的 64 位类型，请使用 int64_t 或 long long，前提是您可以接受至少 64 位的类型。

标签： c++ int overflow

【解决方案1】：

int fac[max+1];，fac[j-1] * j 是 int * int，结果为 int。

如果你溢出，你有 UB，即使没有签名，你也会丢失数据。

使用long int fac[max+1];，则fac[j-1] * j 为long int * long int（int -> long int 为j），结果为long int。

【讨论】：

【解决方案2】：

我们知道 0 ≤ fac[j - 1] 9 + 7。但 fac[j - 1] * j 将达到 j 倍以上，而 long 偶尔只有 32 位长（Windows）。您可以放入 32 位数字的绝对最大值为 4294967295，仅为模数的四倍左右。

考虑使用unsigned long long 而不是long int - 这应该可以工作到j > 2³⁴。

事实上，鉴于(a * b) % N 是mathematically equivalent 到(a % N) * (b % N)，一旦你将long int 替换为unsigned long long，你就可以重写

fac[j] = (fac[j - 1] * j) % 1000000007

到

fac[j] = (fac[j - 1] * (j % 1000000007)) % 1000000007

那么，因为 1000000007²64，你应该可以一直持续下去（虽然你最终会用完 fac 的空间，当然）。

【讨论】：