生成随机倒置高斯分布答案

【问题标题】：Generating Random Upside-down Gaussian Distribution生成随机倒置高斯分布
【发布时间】：2020-08-24 05:19:21
【问题描述】：

我正在尝试生成一个随机分布，该分布遵循颠倒的高斯分布，移动 uo 使其仍在范围 (0,1) 内。我需要用尽可能少的特殊函数来做到这一点，并且只能使用平面随机数生成器。

我可以通过将平面随机数放入逆高斯 CDF 来根据高斯生成。这有效，并为我提供了我期望的高斯分布。在 python 中，这看起来像这样：

def InverseCDF(x, mu, sigma):
  return mu + sigma * special.erfinv(2*x - 1)

现在，当我尝试生成遵循 1-e^(-x^2) 的分布时，我相信此函数的逆 CDF 与现在具有逆误差函数参数的常规高斯相同2*p + 1。所以它如下所示：

   def InverseCDF(x, mu, sigma):
      return mu + sigma * special.erfinv(2*x + 1)

这里的问题是 erfinv 仅从 (-1,1) 定义，并且参数现在大于 1。我尝试过缩放它并以各种方式翻转，几乎在我可以的任何地方都放置负数，我似乎永远无法生成遵循颠倒高斯的直方图。在大多数情况下，我实际上得到了一个正则高斯分布。

知道我做错了什么，或者关于如何生成这个颠倒的高斯的任何提示？提前感谢您的帮助。

【问题讨论】：

有趣的问题，但我对 pdf 的定义有点困惑。让 g(x) 是具有平均值 0 和方差 1 的普通正态 pdf。我猜你正在查看 max(g) - g(x) 其中 max(g) 是凹凸的最大值（我猜是 1 /sqrt(2 pi))。但是 max(g) - g(x) 在曲线下有无限的面积——你是否以某种方式限制了 x 的范围？
是的，我应该声明 x 是有限制的。限制由我的具体问题决定，但对于这个玩具示例，我们可以将其设为 (0,1)。
你的截断法线是在范围的中心，还是模式为零？你愿意使用接受/拒绝技巧吗？
这能回答你的问题吗？ Inverse normal random number generation in python?

标签： random probability gaussian

【解决方案1】：

好的，x 介于 0 和 1 之间，我为 cdf 得到这个：

-(sqrt(%pi)*(sqrt(2)*sigma*erf((sqrt(2)*x-sqrt(2)*mu)/(2*sigma))
            +sqrt(2)*erf(mu/(sqrt(2)*sigma))*sigma)
 -2*x)
 /(sqrt(%pi)*(sqrt(2)*erf((sqrt(2)*mu-sqrt(2))/(2*sigma))
             -sqrt(2)*erf(mu/(sqrt(2)*sigma)))*sigma
  +2)

也许一些代数可以找出逆的公式，如果不是，我猜数字根搜索会起作用。我想对于 mu 和 sigma 的特定值会更简单。

我使用 Maxima (http://maxima.sourceforge.net) 通过构建 pdf 并将其集成来做到这一点。绘制上面的表达式会产生一个似是而非的图景。

【讨论】：

这看起来很有希望，感谢您的帮助。我认为倒数不会太难，但现在读起来有点太复杂/太难了。我们可以说 mu=0 会大大简化事情。在这种情况下，第二项在分子和分母中都消失了
当 mu=0 时，这给出：-(sqrt(π) (sqrt(2) σ erf((sqrt(2) x)/(2 σ))) - 2 x) / (sqrt (π)×erf(-sqrt(2))/(2 σ) + 2)
我看了几分钟，但没有看到一个简单的解决方案。我认为数字根查找器（甚至只是二分法）是解决它的可行方法。这适用于 mu 和 sigma 的任何值（以及任何范围，我很确定）。