遍历所有长度为“L”的向量答案

【问题标题】：Iterate over all vectors of length `L`遍历所有长度为“L”的向量
【发布时间】：2015-03-09 17:31:28
【问题描述】：

我如何迭代所有可能具有指定长度（例如单位长度）的d 维度的向量，其中delta 是步长。

注意delta 可以非常小，例如1e-3 是单位向量。 d 通常在 [0,5] 的范围内，但这不是硬性限制！

愚蠢的方法是使用delta*i 的列表作为i in [0,N) 并生成所有可能的组合，例如n 选择n 并选择总和为1 的组合。但这似乎效率很低，我确信有更好的方法我不知道。

拨片应至少接近均匀分布在表面上。

【问题讨论】：

en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Spherical_coordinates
正如我所说，delta 是允许的一维最小变化。这将问题栅格化并从不可数的许多变为有限的范围。
在 2D 中，您可以生成一组角度，从中可以计算矢量分量。在 3D（球坐标）中，您需要 2 个角度。我确信这可以推广到 D 维情况。编辑：见上面的@sbabbi
如果delta 是沿一维的最小允许变化，那么您将获得异常浓度的样本。它不会接近均匀分布。那是你要的吗？ （换句话说，笛卡尔坐标不能平滑地映射到球体表面）
@drahnr 我不得不说这个问题似乎并不那么微不足道，而且我猜它根本与 C++ 无关，而是与数学和组合学有关。您也应该尝试将其发布在 mathoverflow 上。您可能需要检查一件事：mathoverflow.net/questions/24688/…

【解决方案1】：

好的，我想我知道你需要什么了。基本上，如果你选择

X=(X1, X2, ..., Xn)/norm(X)

其中X1, X2,..., Xn是正态分布N(0,1)（均值为0，标准差为1），norm(X)是X的L2（欧几里得）范数，则保证向量X是均匀分布的穿过n维单位球面。

现在，由于您要离散化，只需从二项分布中绘制每个 Xi（在极限处，我们知道它变成了泊松分布，通过中心极限定理，它收敛到高斯分布，请参见 @ 987654321@ ），你就完成了。当然，您会在维度n 上得到指数缩放，但我认为没有其他方法，因为此类向量的数量随着维度呈指数缩放。

【讨论】：

这是对高斯分布的巧妙运用。
@sbabbi，我希望第一部分是我最初的想法 :)
离散 Xi 没有帮助，因为您需要 Xi/norm(X) 位于格子上
@BenVoigt 是的，那是真的......虽然看起来比我复杂一点，至少比周日晚上的问题复杂 :) 一个想法是从 N(0,1) 中挑选组件限制它们的范数从表面上看在epsilon 之内（如果你想要严格的平等，你会进入丢番图方程，这会让人头疼）。但同样，我很想看到这个问题的正确严格答案，我只是给出了物理学家的证明 :)) 我希望 OP 将它发布在 mathoverflow 上，因为那是它所属的站点，因为它没有太多与C++有关
但这并不能保证delta的间距，所以我不仅需要同源分布，还需要样本向量之间的距离相等。对不起，如果在这里误导了你。