如何生成随机可逆对称半正定矩阵？答案

【问题标题】：How to generate random invertible symmetric positive semidefinite matrix?如何生成随机可逆对称半正定矩阵？
【发布时间】：2019-02-09 03:59:13
【问题描述】：

如何使用 MATLAB 生成随机、可逆、对称、半正定矩阵？

我找到了这个 Python 代码：

matrixSize = 10
A = random.rand(matrixSize,matrixSize)
B = numpy.dot(A,A.transpose())

但我不确定这是否会生成随机正半定义矩阵B。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您的代码的 MATLAB 等效项是：

matrixSize = 10;
A = rand(matrixSize);
B = A * A.';

这确实会产生一个对称的半正定矩阵。但是这个矩阵不一定是可逆的，矩阵有可能（尽管非常不可能）是奇异的。更有可能的是它几乎是奇异的，这意味着逆将获得非常大的值。这个逆是不精确的，B*inv(B) 与单位矩阵的差异会大于您的容差。

确保B*inv(B) 在单位矩阵容差范围内的一种简单方法是重复生成一个随机矩阵，直到找到一个合适的矩阵：

tol = 1e-12;
while true
   A = rand(matrixSize);
   B = A*A.';
   err = abs(B*inv(B) - eye(matrixSize));
   if all(err(:)<tol)
      break
   end
end

上面的循环大部分时间只运行一次，只是偶尔需要生成第二个矩阵。

【讨论】：

【解决方案2】：

对于任何 eps > 0 和任何 nxk（对于任何 k）矩阵 B 的矩阵

P = eps*I + B*B'

是正定且可逆的。如果 k

获取P的MATLAB代码：

n = 10;
k = 1;
B = rand(n,k);
B = B * B.';
P = B + eye(size(B)) * eps(max(B(:)));

【讨论】：