如果顶点随机连接，则连接图所需的预期边数？答案

【问题标题】：Expected number of Edges required to make a graph connected if the vertices are joined randomly?如果顶点随机连接，则连接图所需的预期边数？
【发布时间】：2012-02-24 00:20:24
【问题描述】：

我们随机选择两个顶点并将它们连接起来。那么，当图中连接时，预期的边数是多少？

我尝试使用归纳法解决它，但无法找到答案。解决这个问题的正确方法是什么？

【问题讨论】：

给出算法，这个有点模糊。
我猜它是这样的： G = empty add n points in G (n>1) while G is not connected 选择随机点 n1 选择随机点 n2 ！= n1 在 G 中添加边 n1-n2打印 G 中的边数（arg，我不知道如何正确格式化 cmets）
当我们随机选择两个顶点时，我们可以再次选择之前选择的顶点吗？
@IgorKorkhov 你不能选择同一对顶点
stackoverflow.com/questions/9143548/…

标签： algorithm math random graph-theory

【解决方案1】：

对于给定的顶点数 n 和选择的边数，您可以得到图连通性的概率，即连通图占所有图的比例。

所有图的个数是m超过n * (n - 1)的组合数。

Edward A. Bender 在The asymptotic number of labeled connected graphs with a given number of vertices and edges 中给出了连通图数量的渐近公式， E. Rodney Canfield、Brendan D. McKay（不要让我解释 :-)）

最后，您必须指定“预期数字”的含义 - 您必须选择一个概率阈值（例如 95%）并搜索一个 m，其中该公式给出的概率高于这个门槛。

【讨论】：

这将是一个更好的地方找到论文math.ucsd.edu/~ebender/reprints/97.pdf