在没有排序的情况下生成排序的随机整数？在）

Question

刚刚看到一个关于generating a sorted list of 100 random integers 的高尔夫代码问题。然而，突然出现在我脑海中的想法是，您可以生成一个正增量列表，然后继续将它们添加到运行总数中，因此：

deltas: 1 3 2  7  2
ints:   1 4 6 13 15

其实你会使用浮点数，然后归一化以适应某个上限，然后进行四舍五入，但效果是一样的。

虽然它不会缩短代码，但如果没有排序步骤，它肯定会更快。但我没有真正处理的是：得到的整数分布是否与从均匀分布的概率密度函数生成 100 个随机整数相同？

编辑：示例脚本：

import random,sys
running = 0
max = 1000
deltas = [random.random() for i in range(0,11)]
floats = []
for d in deltas:
    running += d
    floats.append(running)
upper = floats.pop()
ints = [int(round(f/upper*max)) for f in floats]
print(ints)

谁的输出（公平掷骰子）是：

[24, 71, 133, 261, 308, 347, 499, 543, 722, 852]

更新：Alok's answer 和 Dan Dyer's comment 指出，使用 exponential distribution 表示增量会得到整数的均匀分布。

Answer 1

uniform distribution 有一个上限和一个下限。如果您使用您提出的方法，并且您的增量恰好选择得足够大，以至于您在生成所有数字之前就遇到了上限，那么您的算法接下来会做什么？

话虽如此，您可能想研究Poisson distribution，它是在给定平均频率下发生的随机事件之间的间隔时间分布。

Answer 2

我认为它会非常相似，但由于标准化，极端情况会有所不同。例如，在 1 到 100 之间随机选择的 100 个数字都可能是 1。但是，使用您的系统创建的 100 个数字可能都有 0.01 的增量，但是当您对它们进行标准化时，您会将它们放大到 1 -> 范围内100 这意味着你永远不会得到一组非常低的数字的奇怪可能性。

Answer 3

如果你取1到1000的数字范围，你必须使用这些数字中的100个，delta必须至少为10，否则你无法达到1000标记。一些工作来证明它的实际效果怎么样......

任何给定数字在均匀分布的随机选择中的机会是 100/1000，例如1/10 - 没有震惊，以此为基础。

假设您开始使用 delta 并且该 delta 仅为 10。

获得数字 1 的几率是 1/10 - 看起来不错。 获得数字 2 的几率是 1/10 + (1/10 * 1/10)（因为您可以连续命中 2 个 1 的增量，或者仅将 2 作为第一个增量。） 得到数字 3 的几率是 1/10 + (1/10 * 1/10 * 1/10) + (1/10 * 1/10) + (1/10 * 1/10)

第一种情况是 3 的 delta，第二种情况是连续 3 个 1 的 delta，第三种情况是 1 的 delta 后跟 2，第 4 种情况是 2 的 delta 后跟 a 1.

为了我的手指打字，我们不会生成达到 5 的组合。

前几个数字立即比直接随机具有更大的百分比机会。

这可以通过改变 delta 值来改变，所以分数都不同，但我不相信你能找到产生相同赔率的 delta。

打个比方，如果你认为你的 delta 只是 6 并且你运行两次它相当于扔了 2 个骰子 - 每个 delta 都是独立的，但你知道 7 有更高的被选中的几率大于2。

Answer 4

你可以分两次完成；

在第一遍中，生成 0 和 (MAX_RAND/n) 之间的增量

在第二遍中，将随机数标准化为范围内

仍然是 O(n)，具有良好的参考局部性。

Answer 5

所以你问的是，以这种方式生成的数字是否会均匀分布。

您正在生成一个系列：

y_j = ∑_i=0^j ( x_i / A )

其中A 是所有 x_i 的总和。 x_i 是（正）增量列表。

如果 x_i 呈指数分布（具有任何固定均值），则可以做到这一点。所以，如果 x_i 是均匀分布的，那么得到的 y_j 将不会是均匀分布的。

话虽如此，生成指数 x_i 值相当容易。

一个例子是：

sum := 0
for I = 1 to N do:
    X[I] = sum = sum - ln(RAND)
sum = sum - ln(RAND)
for I = 1 to N do:
    X[I] = X[I]/sum

您的随机数将在[0, 1) 范围内排序。

参考：Generating Sorted Lists of Random Numbers。该论文还有其他（更快的）算法。

当然，这会生成浮点数。对于整数的均匀分布，可以在最后一步将上面的sum替换为sum/RANGE（即RHS变为X[I]*RANGE/sum，然后将数字四舍五入到最接近的整数）。

Answer 6

问：得到的整数分布是否与从均匀分布的概率密度函数生成 100 个随机整数相同？

A：每个增量都会均匀分布。中心极限定理告诉我们，大量此类偏差的总和的分布（因为它们具有有限的均值和方差）将趋于正态分布。因此，您序列中后面的偏差将不会均匀分布。

所以简短的回答是“不”。恐怕我不能在不做代数的情况下给出一个简单的解决方案，我今天没时间做！

Answer 7

Alok's answer 和Dan Dyer's comment 指出，使用exponential distribution 表示增量会得到整数的均匀分布。

所以问题中代码示例的新版本将是：

import random,sys
running = 0
max = 1000
deltas = [random.expovariate(1.0) for i in range(0,11)]
floats = []
for d in deltas:
    running += d
    floats.append(running)
upper = floats.pop()
ints = [int(round(f/upper*max)) for f in floats]
print(ints)

注意random.expovariate(1.0) 的使用，Python exponential distribution random number generator（非常有用！）。这里调用它的平均值为 1.0，但由于脚本会根据序列中的最后一个数字进行标准化，因此平均值本身并不重要。

输出（公平掷骰子）：

[11, 43, 148, 212, 249, 458, 539, 725, 779, 871]

Answer 8

Alok's answer 中的 reference (1979) 很有趣。它给出了一种生成统一顺序统计量的算法，而不是通过加法而是通过连续乘法：

max = 1.
for i = N downto 1 do
   out[i] = max = max * RAND^(1/i)

其中 RAND 在 [0,1) 上是均匀的。这样您就不必在最后进行规范化，实际上甚至不必将数字存储在数组中；您可以将其用作迭代器。

The Exponential distribution: theory, methods and applications By N. Balakrishnan, Asit P. Basu 在第 22 页给出了该算法的另一个推导，并归功于 Malmquist (1950)。