从带噪声的高维球体中采样

Question

我想从带有噪声的高维球体中生成一个向量样本。

I.E.我正在尝试创建一个样本，使得任何向量 X 在 R^N 中并保持 ||X+epsilon||^2 = 1 其中 epsilon 是 R^N 中的 iid 向量，其中任何分量 epsilon_j 分布 N(0 ,sigma^2).

有人知道如何实现它吗？我更喜欢使用 R。

谢谢！

Answer 1

我认为这应该可行。它可以很容易地变成一个函数。

d = 5         # number of dimensions
n_draws = 100 # number of draws
sigma = 0.2   # standard deviation

我首先对应该均匀分布在单位球面上的随机向量进行采样。我通过对 d 维多元正态分布的绘图进行归一化来做到这一点。 （这一步可能有更直接的方法，但我稍后会再次使用rmvnorm，所以这很方便。）我称它们为dirs，因为因为我们正在标准化，所以我们真正要做的就是这一步是对“方向”进行采样。

library(mvtnorm)
# sample
dirs = rmvnorm(n = n_draws, mean = rep(0, d))
# normalize
dirs = dirs / sqrt(rowSums(dirs^2))

现在我们再次从多元法线绘制以添加噪声。

x = dirs + rmvnorm(n = n_draws, mean = rep(0, d), sigma = sigma * diag(d))

要将其映射到您在问题中使用的变量，请定义 Y = X + epsilon。我的dirs 是Y，那么我添加的噪音是-epsilon；添加它们会产生您要求的 X。