连续浮点数之间的间隙答案

【问题标题】：Gaps between successive floating point numbers连续浮点数之间的间隙
【发布时间】：2015-03-26 11:42:27
【问题描述】：

（所有讨论的数字都是十进制）

假设我们有一个浮点数据类型，类似于：

m * 10 ^ e

where m is the mantissa . and max mantissa size is 1 ( 0 <= m <= 9);

e is the exponent and its size is  -1 <= e <= 1

我们说我们的数据类型最大值是90，最小值是0

但是：这并不意味着我们可以表示所有在此限制内的数字。我们只能表示 27 个数字 (9 * 3)，不包括零。

具体来说，我们不能用这种方式表示 89，因为它有一个两位数的尾数（并且它们都不是零）。

在技术上类似于上述描述。在浮点数据类型中（在任何编程语言中），在 Max 和 Min 值之间必须有一些整数，我们不能将这些整数存储在浮点数据类型中。

是上述参数 sound 。如果是，请举例说明如何在 java 或 c 中显示这个？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

你的推理非常合理。最容易展示的就是做例子，就像你做的那样。

一个不可代表的例子

考虑IEEE-754定义的“通常的单浮点”格式，它有7个指数位，因此范围超出[-2^127,2^127]。

它也有 24 个尾数位，所以让我们考虑一下 67108864、67108865 和 67108866。这些数字分别是 2^26、2^26+1 和 2^26+2。

尝试将它们规范化以将它们写入浮点格式，您会看到

尾数取值为 26
第一位消失了，因为在 IEEE-754 格式中，第一个数字总是* 1 是隐含的，所以每个数字只剩下 25 位
所有接下来的位（在 24 位的限制内）组成尾数...
- 67108864 的尾数只有零，因为它的最小位是 0，您可以删除它而不会丢失信息。
- 67108866 在其尾数的最后位置有一个 1，因为它的最小位也是 0，您仍然可以删除它而不会丢失信息。
- 67108865 只有零和 1 作为最小位，即超过 24 位！因此，数字将四舍五入为 2^26 或 2^26+2。

因此您有一个示例，例如 89 : 67108865 在浮点数中无法表示。

* 除了次正规，见下文（扩展评论）

确实，我在这里跳过了一部分。指数没有直接编码在为其保留的位中，它是有偏的。在单浮点的情况下，偏差为 127。

所以我们的 26 实际上由 26+127 表示，因此是 153。从维基百科中窃取以下图像：

如果你采用这些数字（符号、指数和尾数），并且想要表达一个非次正规数，你会得到：(-1)^sign * 2^{( exponent-127)} * 1.mantissa

一旦我们达到可能的最小指数，即一旦我们将它写为 0 并表示 -127，我们就停止假设初始 1。这样，我们可以表示小于 2 的数字^-127 （通过牺牲精度，因为我们将在尾数上有前导 0）。

然后我们有：(-1)^sign * 2^-127 * 0.mantissa

特别是，当尾数全为 0 时，我们有 0，这是有意的：现在，二进制表示中只有 0 的数字被读取为 0。在某种程度上，0 是最小的次正规数（尽管在实践中人们认为它只是一个特例）。

其他特殊情况是指数全为 1。如果尾数全为 0，则您有 +/- 无穷大（取决于符号），如果设置了一些尾数位，则您有一个 NaN。

【讨论】：

有些东西我不明白。如果假设每个二进制数的最高有效位为“1”，则：1.我们如何在 IEEE-754 中表示 0 2.如果是这种情况，那么我们将能够保存 2^24+1（十进制： 16777217 / binary : 10000000000000000000000001 ）在浮点数但我们不能（当我在java中测试它时它被四舍五入到16777216）
@kiyarash 我在答案中更新了这一点，尽管它超出了问题的范围。大多数参考文献都很模糊，但是我会推荐这个介绍：steve.hollasch.net/cgindex/coding/ieeefloat.html

【解决方案2】：

是的，您的推理是正确的，应该很容易找到无法用您的数据类型表示的实数。

考虑您允许的最小尾数 (0) 和指数 (-1)：

0 * 10 ^ -1

= 0.0

您允许的下一个更高的尾数是 1：

1 * 10 ^ -1

= 0.1

您不能表示 0.0 和 0.1 之间的任何实数，例如 0.05。

您应该能够用 Java 或 C 来表达这一点。

【讨论】：