在 Python 字典中， ( (j*5)+1 ) % 2**i 如何循环遍历所有 2**i答案

【问题标题】：In Python Dictionaries, how does ( (j*5)+1 ) % 2**i cycle through all 2**i在 Python 字典中， ( (j*5)+1 ) % 2**i 如何循环遍历所有 2**i
【发布时间】：2016-09-19 14:51:05
【问题描述】：

我正在研究 python 如何实现字典。 python字典实现中的一个方程涉及使用方程对空字典槽的伪随机探测

j = ((j*5) + 1) % 2**i

解释here。

看了How are Python's Built In Dictionaries Implemented?这个问题，基本明白字典是怎么实现的了。

我不明白为什么/如何等式：

j = ((j*5) + 1) % 2**i

循环遍历2**i 的所有剩余部分。例如，如果 i = 3 的总起始大小为 8。j 经历了循环：

如果起始大小为16，则循环：

0 1 6 15 12 13 2 11 8 9 14 7 4 5 10 3 0

这对于探测字典中的所有槽非常有用。 但为什么它会起作用？为什么j = ((j*5)+1) 起作用，而j = ((j*6)+1) 或j = ((j*3)+1) 却不起作用，它们都陷入了较小的周期。

我希望对此有更直观的理解，而不是 等式有效，这就是他们使用它的原因。

【问题讨论】：

因为 5 与 2^i 互质，所以LCM 是 5 * 2^i。
引用上面几行：“请参阅有关随机数生成的任何文本以获取证据”:)
@OliverCharlesworth 通过该论点，那么 (j*3)+1 也应该有效。
Knuth 的“计算机编程的艺术：第 2 卷”对类似问题进行了广泛的处理，您可能会觉得有帮助。
这只是一个无关紧要的 Python 问题，一个字典问题，甚至是一个编程问题。

标签： python algorithm dictionary linear-probing

【解决方案1】：

正如 Jasper 所暗示的，这与伪随机数生成器使用的原理相同，即 linear congruential generators。线性同余生成器是遵循关系X_(n+1) = (a * X_n + c) mod m 的序列。从维基页面，

一般 LCG 的周期最多为 m，并且对于因子 a 的某些选择要小得多。当且仅当：

m 和 c 是相对质数。

a - 1 可以被 m 的所有质因数整除。

如果m 可以被4 整除，a - 1 可以被 4 整除。

很明显，5是满足这些要求的最小a，即

2^i 和 1 互质。
4 可以被 2 整除。
4 可以被 4 整除。

另外有趣的是，5 并不是唯一满足这些条件的数字。 9也可以。以m 为 16，使用j=(9*j+1)%16 产生

0 1 10 11 4 5 14 15 8 9 2 3 12 13 6 7

这三个条件的证明可以在第 5 页的the original Hull-Dobell paper 中找到，以及其他一些可能感兴趣的 PRNG 相关定理。

【讨论】：

定理陈述中不能是“当且仅当”；例如将c = 0 和a 作为原始根模2^i 将得到一个完整的周期，但0 与m 不互质。
@kevmo314 感谢您的回复。我接受了这个作为正确答案，但我不确定我是否完全理解每一种情况。例如，在 a = 7、c = 1、m =13 的情况下，我得到的周期长度为 12 而不是 13，但这似乎满足了所有 3 个要求。另一方面，在 a = 7, c=1, m = 18 的情况下，它工作得很好，我得到了预期的 18 周期长度
我想在我之前的评论中 m = 13 可能不满足条件 2，因为 13 没有素因数（因为它本身就是素数）
Knuth 顺便说一句。还提到“当 m 是不同素数的乘积时，只有 a = 1 会产生完整的周期”，所以这应该让您知道不要为 m 选择什么：)
@FairlyNerdy 您的跟进是正确的，13 的主要因素包括 13，其中 6 不能被整除。如果m 由不同的质因数组成，那么唯一的解决方案将是 a = 1，正如 @poke 所指出的那样。