仅从公钥破解长 RSA 密钥

Question

对于一场比赛，我正在尝试学习如何在仅给出公钥的情况下破解 RSA 密钥：

• e = 65537
• n = 632459103267572196107100983820469021721602147490918660274601

所以我关注了this webpage 和this answer。并尝试过：

    >>> n = 632459103267572196107100983820469021721602147490918660274601
    >>> import math
    >>> math.floor(math.sqrt(n))
    795272974058324394239265341440
    >>> c = math.floor(math.sqrt(n))
    >>> for i in range(c-1,c-41,-2):
    ...     if c%i ==0:
    ...         print(i, c%i)
    ...

但它没有给我任何东西。我已经开始了蛮力方法：

>>> print(repr(math.sqrt(n)))
7.952729740583244e+29
>>> c = math.sqrt(n)
>>> int(c)
795272974058324394239265341440
>>> for i in range(c-1, 2, -2):
...     if n%i == 0:
...         print(i, n%i)
...

但是已经运行了半天了。我知道这很愚蠢，因为我正在测试甚至不是素数。有没有更明智的方法？

一开始我从 c 开始，它是一个偶数。我想从偶数减少第 2 步是愚蠢的，因为它只会导致我测试非因式分解器？

更新

在阅读了 Dan 的评论后，我现在正在尝试寻找一个小的因素，而不是从大的因素开始。

>>> for i in range(1,c-1,2):
...     if c%i ==0 and i%2 != 0 and i%5 !=0:
...         print(i, c%i)
...
1 0

Answer 1

TL;DR：破解长 RSA 密钥在计算上很困难（即没有已知的解决方案可以在多项式时间内运行），虽然您的算法可能不是最有效的，但没有人找到可以破解长 RSA 密钥的算法（使用经典计算机 - 量子计算机的Shor's algorithm 可以在多项式时间内破解长 RSA 密钥）。

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更长的答案：

为了估计你的程序执行需要多长时间，我编写了以下 python：

import time

n = 632459103267572196107100983820469021721602147490918660274601
c = 795272974058324394239265341440

test_size = 100000

start_time = time.time()

for i in range(c-1, c-test_size, -2):
    if n%i == 0:
        print(i, n%i)

time_elapsed = (time.time() - start_time)

print("Elapsed Time for %i iterations: %f seconds" % (test_size, time_elapsed))
seconds_in_a_year = 31557600
projected_time = time_elapsed * (c / 2 / test_size) / seconds_in_a_year
print("Projected Time for %i iterations: %i years" % (c, projected_time))

当我在我的电脑上运行它时，输出是：

Elapsed Time for 100000 iterations: 0.024008 seconds
Projected Time for 795272974058324394239265341440 iterations: 3025094101018381 years

那是太多年了！

关于您链接到的文章和答案需要注意的一点是，它们提供了带有快捷键的示例。使用 RSA 密码系统并起作用的原因是，当生成足够大的密钥时，使用任何已知程序来确定私钥在计算上是难以处理的（即，即使地球上的所有计算资源一起工作，也需要很多生命周期）给定公钥。随着计算机变得越来越快，被认为足够大的密钥可能会发生一些变化，其他更难破解的公钥密码系统也可以用于更高的安全性，但就目前而言，1,024 到 4,096 位 RSA 被广泛使用在生产环境中。您提供的 n 是 199 位（math.log(n,2)），所以我想它可以在合理的时间内被蛮力强制......只是不使用笔记本电脑而不使用 python（如果您尝试相同的蛮力方法在 C 中它仍然不会在合理的时间内运行 - 但它会比 python 快）。如果您对解决离散对数问题或整数分解的其他算法感兴趣，我对此了解不多，但我可以告诉您对于非量子计算机没有已知的有效算法.

如果我有时间，我会回来用一些 C 代码更新这个答案以进行比较，我只是想指出你没有做错任何事情，你正在尝试解决一个棘手的问题。