递归语言

Question

"如果一种语言是递归的，那么就存在一种方法，通过这种方法，语言中的字符串可以按某种顺序编写" 我还被告知“如果某种语言可以被某个图灵机按字典顺序枚举，那么这种语言称为递归”

首先：这两个语句是否不同？ 第二：它应该只是一个字典顺序吗？

Answer 1

回想一下为什么字典顺序对于递归语言的定义是必要的：

• 如果语言可以确定，它就是递归的。也就是说，对于给定的单词 W 和给定的语言 L，可以通过有限多步知道 W 是否是 L 的成员，或不是。
• 如果一种语言可以被接受，它就是递归可枚举的。也就是说，对于给定的单词 W 和给定的语言 L，可以通过有限多步知道 W 是否是 L 的成员，但是 不可能 知道 W 不是 L.的成员。

因此，如果一台机器只是以任意顺序列举了 L 的单词，您可以检查您的单词 W 是否在该列表中。如果是，你就停下来。如果不是，您必须永远等待，看看您的单词是否最终被机器输出。该语言是递归可枚举的。

如果你知道顺序，你可以评估机器现在是否应该输出W。如果机器输出了一个单词 X，并且根据你知道机器使用的顺序，W 在 X 之前，你知道机器永远不会发出 W，所以你知道 W 不是 L 的成员。

字典顺序是满足您可以判断的属性的单词的许多总排序之一停下来。

其他订单：
https://en.wikipedia.org/wiki/Lexicographical_order#Colexicographic_order
https://en.wikipedia.org/wiki/Kleene%E2%80%93Brouwer_order

所以回答你的具体问题：

1. 这两个语句是否不同？
   是的。
   第一个语句声明“在某个序列中”，它没有指定序列必须是 L 字母表上的total order。因此，第一种说法是不正确的。第一条语句定义了一种可递归枚举的语言。
   第二个陈述是正确的，但比它需要的限制更多。字典顺序只是字母表上的一个总顺序。其他的都可以用。

2. 是否应该只是字典顺序？
   没有。
   如上所述，只要机器保证按字母表的任何总顺序输出，该语言就是递归的。