证明以下语言是正则的：

Question

令 L1、L2 为正则语言。并令 A1=〈Σ,Q,q0,????1,F1), A2=〈Σ,P,p0,????2,F2) 为它们的 DFA。

通过为其制作适当的 NFA 来证明以下语言是正则的：

??????3={????1??????1′??????2????2′…????????????????′ |????1????2…????????∈????1,????1′????2′...??????????′ ∈ ??????2}（意思是所有单词的语言，其中偶数位置（从0开始）的字母来自L1，奇数位置的字母来自L2。

不胜感激。 谢谢。

Answer 1

考虑以下自动机：

• 字母Σ
• 状态集 (Q x P) 联合 (P x Q)
• 初始状态 (q0, p0)
• 最终状态 (f1, f2)，其中 f1 和 f2 分别位于 F1 和 F2 中
• 如果 ?1 在 s 上将 q 带到 q'，并且在符号 s 上将 (p, q) 到 (q, p')，则转换函数将符号 s 上的 (q, p) 带到 (p, q')如果 A2 在符号 s 上将 p 带到 p'。

假设你在 L3 中有一个单词 w。我们的机器能接受吗？序列 ?1, ?2, ..., ?n 将导致自动机到达的状态的第一个组件与 A1 仅处理此序列时 A1 将到达的状态相同。因为 L3 说 w 中的这个序列是 L1 中的一个词，所以状态应该在 A1 中接受，所以第一个组件在 F1 中。类似地，序列?1'，?2'，...，?n'是L2中的一个字符串，所以它到达的状态是接受。因此，这个 NFA 达到的状态是 (f1, f2) 的形式，因此字符串被接受，因为它必须是。我们刚刚论证了 NFA至少接受这种语言的字符串。剩下的就是争辩说它不接受其他任何东西。

幸运的是，论证的其余部分是直截了当的，我们可能在进行上述论证的同时也可以做到这一点。它遵循相同的格式。假设我们的 NFA 到达接受状态之一。然后是 (f1, f2) 的形式。这意味着我们看到了一个偶数长度的字符串，其中奇数索引符号一起导致 A1 中的 f1，偶数索引符号导致 A2 中的 f2。但这意味着序列在它们各自的自动机中接受，因此在我们的机器中导致我们进入接受状态的字符串必须是 L3 中的一个单词。我们刚刚讨论过，NFA最多接受这种语言的字符串。

由于我们的机器至少接受我们需要的字符串，最多接受我们需要的字符串，因此它完全接受我们需要的字符串。