试图理解简单的大数计算

Question

我正在努力更好地了解“大数字”库的工作原理（例如 GMP）。

我想写自己的函数到Add()/Subtract()/Multiply()/Divide()

类是传统定义的......

std::vector<unsigned char> _numbers; // all the numbers
bool _neg; // positive or negative number
long _decimalPos; // where the decimal point is located
                  // so 10.5 would be 1
                  //    10.25 would be 2
                  //    10 would be 0 for example

首先我需要将数字标准化，这样我才能做到

使用 2 个数字 10(x) + 10.25(y) = 20.25

为简单起见，我会让它们的长度相同，

对于 x： _numbers = (1,0,0,0) 十进制 = 2

对于 y： _numbers = (1,0,2,5) 十进制 = 2

然后我可以在循环中反向添加 x 到 y

...
// where x is 10.00 and y is 10.25
...
unsigned char carryOver = 0;
int totalLen = x._numbers.size();
for (size_t i = totalLen; i > 1 ; --i )
{
    unsigned char sum = x._numbers[i-1] + y._numbers[i-1] + carryOver;
    carryOver = 0;
    if (sum > _base)
    {
     sum -= _base;
     carryOver = 1;
    }
    numbers.insert( number.begin(), sum);
}

// any left over?
if (carryOver > 0)
{
  numbers.insert( number.begin(), 1 );
}

// decimal pos is the same for this number as x and y

...

上面的示例适用于将两个正数相加，但一旦我需要将一个负数与一个正数相加，就会很快失败。

当涉及到减法时，这会变得更加复杂，而对于乘法和除法则更糟。

有人可以建议一些简单的函数来加（）/减（）/乘（）/除（）

我不是想重写/改进库，我只是想了解它们如何处理数字。

Answer 1

加法和减法非常简单

您需要检查操作数的符号和大小，并在需要时将操作转换为/从+/-。我的典型 C++ 实现是这样的：

//---------------------------------------------------------------------------
arbnum arbnum::operator + (const arbnum &x)
    {
    arbnum c;
    // you can skip this if you do not have NaN or Inf support
    // this just handles cases like adding inf or NaN or zero
    if (  isnan() ) return *this;
    if (x.isnan() ) { c.nan(); return c; }
    if (  iszero()) { c=x; return c; }
    if (x.iszero()) return *this;
    if (  isinf() ) { if (x.isinf()) { if (sig==x.sig) return *this;
                    c.nan(); return c; } return *this; }
    if (x.isinf()) { c.inf(); return c; }
    // this compares the sign bits if both signs are the same it is addition
    if (sig*x.sig>0) { c.add(x,this[0]); c.sig=sig; }
    // if not
    else{
        // compare absolute values (magnitudes)
        if (c.geq(this[0],x)) // |this| >= |x| ... return (this-x)
                {
                c.sub(this[0],x); 
                c.sig=sig;    // use sign of the abs greater operand
                }
        else    {             // else return (x-this)
                c.sub(x,this[0]);
                c.sig=x.sig;
                } 
        }
    return c;
    }
//---------------------------------------------------------------------------
arbnum arbnum::operator - (const arbnum &x)
    {
    arbnum c;
    if (  isnan() ) return *this;
    if (x.isnan() ) { c.nan(); return c; }
    if (  iszero()) { c=x; c.sig=-x.sig; return c; }
    if (x.iszero()) return *this;
    if (  isinf() ) { if (x.isinf()) { if (sig!=x.sig) return *this;
                    c.nan(); return c; } return *this; }
    if (x.isinf()) { c.inf(); c.sig=-x.sig;  return c; }
    if (x.sig*sig<0) { c.add(x,this[0]); c.sig=sig; }
    else{
        if (c.geq(this[0],x))
                {
                c.sub(this[0],x);
                c.sig=sig;
                }
        else    {
                c.sub(x,this[0]);
                c.sig=-x.sig;
                }
        }
    return c;
    }
//---------------------------------------------------------------------------

地点：

• geq 是无符号比较大于或等于
• add 未签名 +
• sub 未签名 -

除法有点复杂

见：

• bignum divisions

• approximational bignum divider

  对于部门，您需要已经实现了诸如 +,-,*,<<,>> 之类的东西，而对于一些更高级的方法，您甚至需要诸如：绝对比较（无论如何+/- 都需要它们），sqr，使用的比特数，通常用于小数部分和整数部分。

  最重要的是乘法，请参阅Fast bignum square computation，因为它是大多数除法算法的核心。

性能

一些提示见BigInteger numbers implementation and performance

文本转换

如果您的号码是 ASCII 或 BASE=10^n 数字，那么这很容易，但如果您出于性能原因使用 BASE=2^n，那么您需要能够在 dec 和 hex 字符串之间转换的快速函数，所以您实际上可以在课堂上加载和打印一些数字。见：

• How do I convert a very long binary number to decimal?
• How to convert a gi-normous integer (in string format) to hex format?