常规和非常规集答案

【问题标题】：Regular and non-regular sets常规和非常规集
【发布时间】：2013-10-26 15:28:24
【问题描述】：

我必须说明以下是否是常规集合。这些是我的答案，我想知道我是否正确，并在我的推理中获得额外的输入。此外，我想在不使用抽水引理的情况下直观地使这些合理化，我被告知这对于以下任何一个都不太难。

我只需要在底部正式显示问题。

   a. {(a^n)(b^m) | n!=m} 
   b. {xcx | x is in {a,b}*}
   c. {xcy | x,y is in {a,b}*}
   d. {(a^n)(b^n+481) | n >= 0}
   e. {(a^n)(b^m) | n>=m and m<= 481}
   f. {(a^n)(b^m) | n>=m and m>= 481}
   h. {(a^n)(b^n)(c^n) | n>=0}


a. Not regular. This would imply that {(a^n)(b^n) | n>=0} is regular, which isn't true either by the closure properties for regular sets.
b. For both b and c, I don't think I am conceptualizing it correctly. Since x can be any arbitrary string of a's or b's, I would say that both parts b and c are not regular. But I don't think that this is correct.
c. See above.
d. Not regular. From the same reasoning from a. Adding a constant really means nothing since n is unbounded positively. 
e. Unsure.
f. Unsure.
h. Not regular from the same reasoning as a.

最后我必须正式地证明 {(a^n)(b^n) | 不存在无限子集。 n>=0} 使得子集是规则的。

这可以在没有 Pumping Lemma 的情况下以简单的方式完成吗？由于我对常规套路的掌握不是很好，所以我还没有尝试过。

【问题讨论】：

这个问题最好在math.stackexchange.com
对于 (b) 我认为其目的是要求前缀与后缀相同（因此不规则）。对于 (c)，它们可以是不同的，这将使其成为规则。我认为您需要 Pumping Lemma 来处理其他案例和证明。（仅供参考，我修正了我认为是（a）部分的错字——两个指数都有 n。）
@kajic，这是 CS 理论的一个特定领域，所以我认为它在这里仍然适用。也许它更适用于理论子领域，但它属于这里，就像它属于数学 imo 一样。
哦，我不知道cstheory.stackexchange.com 我收回了关于将其移至数学的评论，但我仍然认为cstheory.stackexchange.com 更有意义
我可以加入。

标签： math theory regular-language

【解决方案1】：

这里有一些cmets：

对于 (a)，我相信你是对的，但你需要小心你如何证明为什么如果该语言是常规的，那么 { aⁿb^{n | N } 中的 n 是正则的。确保您了解要使用的闭包属性。}
对于 (b)，作为提示，使用同态。可以删除c吗？
对于 (c)，考虑一下这种语言的含义。 aabaabc 是语言吗？ caab 是语言吗？你能找到一种更简洁的方式来描述它，比如用正则表达式吗？
对于 (d)，您可以通过在连接和联合下使用闭包来证明它不规则。你知道怎么做吗？
对于 (e)，尝试将语言写成 { aⁿ | n ≥ 0 } ∪ { aⁿb | n ≥ 1 } ∪ { aⁿb²} ∪ ... { aⁿb⁴⁷¹ | n≥471}。这有帮助吗？
对于 (f)，作为提示，它不规则。根据 (e) 的直觉，你明白为什么了吗？
对于 (h)，使用与 (b) 中相同的技术。

最后，对于您的最后一个问题，您确实可以在这里使用抽水引理。在抽水引理的正常证明中，你会选择字符串 a^pb^p，其中 p 是抽水长度。您可以使用类似的技巧，但不能保证 a^pb^p 在该语言中。但是，你能证明 a^p+kb^p+k 必须是某些 k ≥ 0 的语言吗？

希望这会有所帮助！

【讨论】：