在进行考试复习时，我无法从 Sipser 的“计算理论导论”一书中回答以下问题。不幸的是，书中没有解决这个问题。
解释为什么以下不是合法的图灵机。
M = {
输入是关于变量 x1, ..., xn 的多项式 p
这快把我逼疯了！我怀疑这是因为整数集是无限的？这是否超出了字母表的允许大小？
【问题讨论】：
标签： state-machine computation-theory turing-machines
虽然这是描述图灵机的一种非常非正式的方式，但我认为问题在于以下之一：
otherwise reject - 我同意 Welbog 的观点。由于您有一组可数无限的可能设置，机器永远无法知道它评估为 0 的设置是否仍然存在，并且如果找不到任何设置，它将永远循环 - 只有在遇到这样的设置时，机器可能会停止。最后一条语句是无用的，永远不会是真的，除非你当然将机器限制为一组有限的整数。
代码顺序：我会将此伪代码解读为“首先写下所有可能的设置，然后对每个设置评估 p”，这就是您的问题： 同样，通过拥有无限的可能设置，即使第一部分也不会终止，因为永远不会有最后一个设置可以写下来并继续下一步。在这种情况下，机器甚至永远不会说“没有 0 设置”，但它甚至永远无法开始评估以找到一个。这也可以通过限制整数集来解决。
无论如何，我认为问题不在于字母的大小。您不会使用无限字母表，因为您的整数可以用十进制/二进制/等形式编写，而那些仅使用（非常）有限的字母表。
【讨论】：
我对图灵机有点生疏，但我相信你的推理是正确的，即整数集是无限的，因此你不能全部计算出来。我不确定如何从理论上证明这一点。
但是，了解图灵机的最简单方法是记住“任何真实计算机可以计算的东西，图灵机也可以计算。”。因此，如果您可以编写一个给定多项式的程序可以解决您的 3 个问题，那么您将能够找到一台图灵机也可以。
【讨论】：
我认为问题出在最后一部分：otherwise reject.
根据countable set basics，可数集上的任何向量空间本身都是可数的。在您的情况下，您在大小为n 的整数上有一个向量空间，它是可数的。所以你的整数集是可数的，因此可以尝试它们的每一种组合。 （也就是说不漏任何组合。）
此外，还可以在给定的一组输入上计算 p 的结果。
当p 评估为 0 时进入接受状态也是可能的。
但是，由于输入向量的数量是无限的，因此您可以从不拒绝输入。因此，没有图灵机可以遵循问题中定义的所有规则。如果没有最后一条规则，这是可能的。
【讨论】：