重构布尔方程答案

【问题标题】：refactoring boolean equation重构布尔方程
【发布时间】：2010-10-30 06:06:00
【问题描述】：

假设你有一个像这样的布尔规则/表达式

(A OR B) AND (D OR E) AND F

您想将其转换为尽可能多的 AND 表达式，就像这样

A AND D AND F
A AND E AND F
B AND D AND F
B AND E AND F

你只是在减少 OR，所以它变成了

(A AND D AND F) OR (A AND E AND F) OR (...)

布尔代数中是否有一个属性可以做到这一点？

【问题讨论】：

标签： parsing boolean expression equation

【解决方案1】：

看看DeMorgan's定理。链接指向与电子门有关的文档，但理论保持不变。

它说，如果我们这样做，任何逻辑二进制表达式都保持不变

将所有变量更改为它们的补码。
将所有 AND 操作更改为 OR。
将所有 OR 操作更改为 AND。
取整个表达式的补码。

（引用上述链接文档）

【讨论】：

我看不出如何使用（或需要）德摩根定理来执行问题中的重构。你能提供一个可行的解决方案吗？
不容易。 De Morgan's 告诉您如何在保持相同最终结果的同时转换布尔表达式。在上面，您可以使用步骤 2 和 3 来确定是否转换表达式以最大化 AND（例如，您的 AND 是否比 OR 多，反之亦然？）
德摩根定理不能立即适用。
这里适用的是合取大于析取的分配性质，而不是德摩根定理。所有重言式规则“告诉您如何在保持相同最终结果的同时转换布尔表达式”，它们只是转换不同的东西。没有 AND..NOT 或 OR..NOT 德摩根定理在此不再适用于蕴涵等价规则 ({A OR NOT B} == {A IMP B})。

【解决方案2】：

据我所知，布尔代数不能仅使用 AND 和 OR 运算来构建。如果您只有这两个操作，您将无法接收 NOT 操作。

您可以将任何表达式转换为全套布尔运算。

这里有一些完整的套装：

与与非
或与否

【讨论】：

是的，但不是询问的内容。

【解决方案3】：

假设您可以使用 NOT 操作，您可以仅使用 AND 或仅使用 OR 重写任何布尔表达式。在你的情况下：

(A OR B) AND (D OR E) AND F

我倾向于使用工程简写来写：

AND 作为产品（。或什么都没有）；
OR 作为总和 (+)；和
不作为单引号 (')。

所以：

(A+B)(D+E)F

算术的推论实际上对于分解项非常有用。

De Morgan's Law:

(A+B) => (A'B')'

所以你可以将你的表达式改写为：

(A+B)(D+E)F
(A'B')'(D'E')'F

【讨论】：

【解决方案4】：

您的示例是利用 AND 对 OR 的分布性，如 here 所示。

您需要做的就是依次应用它。例如，使用x*(y+z) = (x*y)+(x*z)（其中 * 表示 AND，+ 表示 OR）：

0. (A + B) * (D + E) * F
1. Apply to the first 2 brackets results in ((A+B)*D)+((A+B)*E)
2. Apply to content of each bracket results in (A*D+B*D)+(A*E+B*E)
3. So now you have ((A*D+B*D)+(A*E+B*E))*F
4. Applying the law again results in (A*D+B*D)*F+(A*E+B*E)*F
5. Apply one more time results in A*D*F+B*D*F+A*E*F+B*E*F, QED

【讨论】：

【解决方案5】：

您可能有兴趣阅读有关Karnaugh maps 的信息。它们是简化布尔表达式的工具，但您也可以使用它们来确定所有单独的表达式。我不确定您如何将其推广到可以编写程序的算法中。

【讨论】：

【解决方案6】：

您可能对Conjunctive Normal form 或其兄弟Disjunctive normal form 感兴趣。

【讨论】：