需要知道这是否是一种独特的划分方式？

Question

几个月前，我在 StackOverflow 的 "Algorithm to find factors for primes in linear time" 上提出了一个问题。

在回复中，我很清楚我的假设错误并且算法无法在线性时间内找到因素。

但是我想知道该算法是否是进行除法和查找因子的独特方法；那就是知道做任何类似/相同的划分方式吗？我再次在这里发布算法：

Input: A Number (whose factors is to be found)
Output: The two factor of the Number. If the one of the factor found is 1 then it can be concluded that the
Number is prime.

Integer N, mL, mR, r;
Integer temp1; // used for temporary data storage
mR = mL = square root of (N);
/*Check if perfect square*/
temp1 = mL * mR;
if temp1 equals N then
{
  r = 0; //answer is found
  End;
}
mR = N/mL; (have the value of mL less than mR)
r = N%mL;
while r not equals 0 do
{
  mL = mL-1;
  r = r+ mR;

  temp1 = r/mL;
  mR = mR + temp1;
  r = r%mL;
}
End; //mR and mL has answer

让我知道您的输入/这个问题纯粹是出于个人兴趣，想知道是否存在类似的算法来进行除法和查找因子，而我无法找到。

我理解并感谢您可能需要了解我的有趣算法才能给出答案！ :)

进一步说明： 是的，它确实适用于 10 以上的数字（我测试过）和所有正整数。 该算法依赖于余数 r 继续进行。我基本上形成了这样的想法，即对于一个数字，它的因数给了我们 面积是数字本身的矩形。对于所有其他不是因数的数字，将有 剩下的部分，或者因此无法完整地形成矩形。 因此想法是对于mL的每减少，我们可以增加r = mR + r（基本上将一个mR从mRmL转移到r）然后这个大的r除以mL来看看我们可以增加多少mR（每减少一毫升，我们可以增加多少倍mR）。因此剩余的 r 是 r mod mL。 我已经计算了查找因子所需的 while 循环数，对于所有数字，它都低于或等于 5*N。审判分会需要更多时间。*

感谢您的宝贵时间，Harish

Answer 1

主循环相当于下面的C代码：

mR = mL = sqrt(N);
...
mR = N/mL; // have the value of mL less than mR
r = N%mL;
while (r) {
  mL = mL-1;
  r += mR;
  mR = mR + r/mL;
  r = r%mL;
}

请注意，在每个r += mR 语句之后，r 的值是r%(mL-1)+mR。由于r%(mL-1) < mL，下一条语句中r/mL 的值要么是mR/mL，要么是1 + mR/mL。我同意（作为数值测试的结果）当你退出循环时它可以解决mR*mL = N，但我不明白为什么。如果您知道原因，您应该解释原因，如果您希望您的方法被认真对待。

就效率而言，您的方法使用与Fermat factorization 相同数量的循环，尽管可以在不使用任何除法的情况下编写费马分解的内部循环，其中您的方法使用两个除法运算（r/mL 和r%mL ) 在其内部循环内。在这两种方法的最坏情况下，内部循环运行大约 sqrt(N) 次。

Answer 2

还有其他一些，例如Pollard's rho algorithm，以及您在上一个问题中已经了解过的 GNFS。