从多个集合中找到元素的最佳组合

Question

我有几组像：

a: ([1, 2], [4,5])
b: ([1, 3])
c: ([4, 7], [1, 8])
d: ([9, 7], [1, 5])
...

没有两对是相同的，并且没有一对的元素是相同的。每个集合可以包含许多对。元素数量很少（大约 200 个）。

我从每组中挑选一对。现在，我想以这样的方式进行配对，以使元素的数量尽可能少。

问题太大，无法尝试每种组合，是否有任何算法或启发式方法可以帮助我找到最优（或近似猜测）？

Answer 1

这个问题有一种明确的 NP-complete 感觉。所以这里有两种贪婪的方法，可能会产生合理的近似答案。要确定哪个更好，您应该同时实现并进行比较。

第一个是自下而上。给每个集合一个值2，如果它有一个从中选择的对，(n+1)/n，如果它有一个n 对从其中部分选择。在每一轮，给每个元素一个被选中的值，该值是添加它增加所有集合的值的数量的总和。在这一轮中选择具有最高值的元素，然后更新所有集合的值，更新所有剩余元素的值，然后继续。

这将选择看起来在覆盖所有系列方面取得进展的元素。

第二个是自上而下。从选定的所有元素开始，并给每个集合一个值1/n，其中n 是选定对的数量。给定集合中所有对所需的元素被放入最终集合。在剩余的元素中，如果删除，找出增加值最少的元素，然后将其删除。

我们的想法是，我们从一个太大的封面开始，然后反复删除对覆盖所有系列似乎最不重要的那个。我们剩下的希望是最少的。