【发布时间】：2020-07-03 07:20:50
【问题描述】：
我正在玩在 Haskell 中生成 Hamming numbers，试图改进显而易见的（请原谅函数的命名）
mergeUniq :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
mergeUniq (x:xs) (y:ys) = case x `compare` y of
EQ -> x : mergeUniq xs ys
LT -> x : mergeUniq xs (y:ys)
GT -> y : mergeUniq (x:xs) ys
powers :: [Integer]
powers = 1 : expand 2 `mergeUniq` expand 3 `mergeUniq` expand 5
where
expand factor = (factor *) <$> powers
我注意到，如果我将数字表示为 2-、3- 和 5-指数的三元组，例如 data Power = Power { k2 :: !Int, k3 :: !Int, k5 :: !Int }，我可以避免（较慢的）任意精度 Integer，其中数字被理解为 @ 987654329@。那么两个Powers的比较就变成了
instance Ord Power where
p1 `compare` p2 = toComp (p1 `divP` gcdP) `compare` toComp (p2 `divP` gcdP)
where
divP p1 p2 = Power { k2 = k2 p1 - k2 p2, k3 = k3 p1 - k3 p2, k5 = k5 p1 - k5 p2 }
gcdP = Power { k2 = min (k2 p1) (k2 p2), k3 = min (k3 p1) (k3 p2), k5 = min (k5 p1) (k5 p2) }
toComp Power { .. } = fromIntegral k2 * log 2 + fromIntegral k3 * log 3 + fromIntegral k5 * log 5
所以，非常粗略地说，为了比较 p₁ = 2<sup>i₁</sup> * 3<sup>j₁</sup> * 5<sup>k₁</sup> 和 p₂ = 2<sup>i₂</sup> * 3<sup>j₂</sup> * 5<sup>k₂</sup>，我们比较了 p₁ 和 p₂ 的对数，这大概适合 Double。但实际上我们做得更好：我们首先计算它们的 GCD（通过找到相应指数对的 mins - 到目前为止只有 Int 算术！），将 p₁ 和 p₂ 除以 GCD（通过减去mins 来自相应指数 - 也只有 Int 算术），并比较结果的对数。
但是，鉴于我们经过Doubles，最终会损失精度。这是我提出问题的基础：
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Doubles 的有限精度何时会咬我？也就是说，如何估计i, j, k的阶数，2<sup>i</sup> * 3<sup>j</sup> * 5<sup>k</sup>与具有“相似”指数的数字的比较结果将变得不可靠？ - 我们通过除以 GCD（这可能大大降低了此任务的指数）这一事实如何修改上一个问题的答案？
我做了一个实验，将这种方式产生的数字与通过任意精度算术产生的数字进行比较，并且所有汉明数精确到第 1'000'000'000 次匹配（这花了我大约 15 分钟和 600兆内存来验证）。但这显然不是证据。
【问题讨论】：
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你的问题 1 是 2^i•3^j•5^k 形式的最小数字 x 是多少，这样在该形式中还有另一个数字 y，并且 x Double 值会产生 X 和 Y，使得 Y ≤ X，因此通过比较
Double中的对数无法区分 x 和 y？问题 2 是类似的，只是 2、3 或 5 的每个指数在 x 或 y 中至多有一个不为零？对数使用什么底？ （基数的影响可能很小，但可能会产生舍入误差，这可能会影响第一次失败发生的位置。） -
十亿海明数的大小是多少？
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或者，更确切地说，我们没有直接在
Double中获得 x 和 y 的对数，但是我们使用Double算法从 2、3 和 5 的对数（每个乘以指数并将它们相加）？你有 2、3 和 5 的对数作为Double中最接近的可表示值（一些数学库可能有更大的错误，尽管对数比一些超越函数更容易计算）？ -
答案是，如果记忆有用（但请检查the RosettaCode page），在万亿分之一的某个地方，甚至可能更高。您的 GCD 技巧很不错，但不幸的是，将有一些三元组可以比较，它们没有共同的因素，所以最后我的猜测是没关系。我在 someanswer 的 SO 或 Rosetta 上的某个 IIRC 上提到了这个问题。
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this answer 直接回答您的问题。它提到在计算第万亿个汉明数时使用了 14 个有效数字。
标签： algorithm haskell floating-point precision hamming-numbers