这个算法会在 O(n) 中运行吗？

Question

注意：这是Cracking the Coding Interview 5th Edition中的问题4.3

问题：给定一个排序（升序）数组，编写一个算法来创建一个高度最小的二叉搜索树

这是我的算法，用Java编写来解决这个问题

  public static IntTreeNode createBST(int[] array) {
         return createBST(array, 0, array.length-1);
   }
   private static IntTreeNode createBST(int[] array, int left, int right) {
        if(right >= left) {
            int middle = array[(left + right)/2;
            IntTreeNode root = new IntTreeNode(middle);
            root.left = createBST(array, left, middle - 1);
           root.right = createBST(array, middle + 1, right);
            return root;
         } else {
             return null;
         }
    }

我根据作者的代码检查了这段代码，它几乎是相同的。
但是我很难分析这个算法的时间复杂度。
我知道这不会在 O( logn) 喜欢Binary Search，因为您在每个递归级别上所做的工作量不同。 E.G在第一级，1个工作单元，2级-2个工作单元，3级-4个工作单元，一直到log₂(n)级-n个工作单元。

因此，基于此，此算法所采取的步骤数将受此数学表达式的限制

看了Infinite geometric series之后，我评价为

或 2n 将在 O(n)

你们是否同意我在这里的工作以及这个算法会在 O(n) 中运行，或者我错过了什么或者它实际上在 O(nlogn) 中运行还是其他一些函数类？

Answer 1

有时您可以通过计算结果中每个项目的时间量来简化计算，而不是求解递归关系。这个技巧在这里适用。首先将代码更改为这种明显等效的形式：

private static IntTreeNode createBST(int[] array, int left, int right) {
    int middle = array[(left + right)/2;
    IntTreeNode root = new IntTreeNode(middle);
    if (middle - 1 >= left) {
        root.left = createBST(array, left, middle - 1);
    }
    if (right >= middle + 1) {
        root.right = createBST(array, middle + 1, right);
    }
    return root;
}

现在每次调用createBST 都会直接创建一个节点。由于最终树中有 n 个节点，因此对 createBST 的总调用次数必须是 n，并且由于每次调用都直接执行恒定量的工作，因此总时间复杂度为 O(n)。

Answer 2

如果您对递归感到困惑，请将递归调用（当然是心理上的）替换为循环。例如，在您的上述函数中，您可以想象递归调用位于“while 循环”中。因为现在是一个while循环，直到遍历所有n个节点为止，复杂度是O(n)。