【问题标题】：What are the units and limits of gradient magnitude?梯度大小的单位和界限是什么？
【发布时间】：2017-10-20 06:46:00
【问题描述】：

图像梯度幅度的单位和限制是什么？例如，我知道如何获得图像的梯度幅度（见下文）。生成的Mat 将包含我的源图像中每个边缘的边缘强度（大小）。

但是“边缘强度/大小”的单位是什么？梯度方向以度/弧度为单位，幅度的单位是什么？ OpenCV 中 Magnitude 的限制是什么？它是 0 到 1，即边缘的强度/大小介于 0 和 1 之间，其中 1 是完全垂直的？

因此，如果我要在直方图中绘制幅度； x 轴表示边缘强度/陡峭度，y naxis 表示具有该强度/陡峭度的像素数？我说的对吗？

Mat sX, sY, mag;
Sobel(src, sX, CV_32F, 1, 0, 1);
Sobel(src, sY, CV_32F, 0, 1, 1);

magnitude(sX, sY, mag);

// So mag now contains the image gradient magnitude 
// of the all the edges I pulled out by sobel.
// What are the units and limits of 'edge strength'/magnitude?
// For example are the limits 0 to 1?

【问题讨论】：

标签： c++ opencv computer-vision

【解决方案1】：

单位

您正在对函数进行一些近似导数。如果函数是f(x)，那么请记住，您正在查看f 中的change，而不是x 中的change。假设函数是基于时间的位置r(t)，那么导数的单位是位置差（距离）与时间差（时间）。那么图像的单位是什么？嗯，它们是某些位置的光度值。光度值的变化只是光度值，位置的变化是距离。所以导数的单位是光度/距离。

梯度幅度

由于我们处理的是图像，因此最小距离是一个像素，而最大的变化可能是从白色到黑色（反之亦然），因此它们对应于最大的渐变。但 Sobel 可以处理最小值和最大值可能远远超出 0 到 1 或 0 到 255 的任意矩阵。

请注意，您可能会得到斜率的负值：以像素为单位的距离始终为正，但从白色到黑色以及从黑色到白色的变化具有相反的符号。在 Sobel 计算出这些导数之后，您将分别计算 magnitude 和 angle。您可以根据每个方向的梯度强度对x和y方向进行加权来计算角度，并且它需要符号返回0到360之间的任意角度。

如果您想要所有边的大小为正值，而非边的大小为 0，您可以采用 L1-norm，即abs(x) + abs(y)，或采用 Euclidean 或 L2-norm 与 the magnitude function 即 sqrt(G(x)^2 + G(y)^2)，就像您要计算三角形的斜边一样。直接添加意味着一些渐变是正的，一些是负的，给你留下一个显示黑白边缘的灰色图像。

Sobel 算子的值

Sobel 算子只是计算像素邻域中的导数，不仅比较两个像素，而是比较六个像素，然后对它们进行加权，将它们全部相加——因此它可能比图像中的值高一点。而且，浮点图像不会在 0 或 1 处被截断，因此您可以发送具有更大值的图像并获得更大的值。除了数据类型可以容纳的最大值之外，运算符没有虚拟最大值。 Sobel 算子在梯度计算之前也会做一些平滑以去除小边缘，但平滑算子不会缩放值。

OpenCV docs for Sobel 显示操作员将图像乘以的值。具体来说，对于x 方向，每个 3x3 像素邻域按元素乘以

-1 0 1
-2 0 2
-1 0 1

并求和。如果图像类型的最大可能值为M，最小值为m，则渐变中最大的正值是

(1+2+1)*M - (1+2+1)*m = 4*M - 4*m

同样最大的负值是

-(1+2+1)*M + (1+2+1)*m = -4*M + 4*m

这对于每个方向的渐变都是相同的。因此，从Sobel 开始的每个方向的渐变范围将是[-4M+4m, 4M-4m]。

规范化操作符

您将以某种方式将这些量级中的两个加在一起，无论是使用 L1 范数还是 L2 范数。假设您坚持使用 L2 范数，则根据 L2 范数定义，组合幅度的最大值将简单地为

MAX = sqrt((4*M - 4*m)**2 + (4*M - 4*m)**2) 
    = sqrt(2 * (4*M - 4*m)**2)
    = sqrt(2 * 16 * (M - m)**2) 
    = sqrt(32) * (M - m)

由于 L1 或 L2 范数将正值和负值视为相等（它们与 0 的距离很重要），因此 Sobel 算子中的最小值在组合幅度上的响应与最大值的响应相同。当然，您的响应中的某些点可能为 0，这给出了 Sobel 响应，因此总和也为 0，因此 0 将是最小值。

编辑：正如another answer 中提到的这个问题，我们实际上不能同时在 X 和 Y 方向上达到最大值，如果你计算出最大值实际上可以是多少，它最终会更小一些：

sqrt(20) * (M - n)

因此，您可以将梯度标准化为具体介于 0 和 1 w.r.t 之间。您的图像类型除以最大值。这将允许您比较多个图像的边缘强度。

或者您可以只使用normalize 函数，但最终值将取决于您的图像，因此您无法比较图像之间的相等值。

【讨论】：

关于限制：您是否处理过大小为 sqrt(gx^2+gy^2) 的问题？
本教程只计算一个近似值，函数 cv::magnitude 应该总是计算欧几里得范数。
@Micka 不知何故我忘记了Sobel() 不返回幅度而只计算梯度的事实；我最初在想Canny()，它将返回幅度。哎呀。谢谢你。
那么最小值将是一个复数？
@JoãoPaulo 我不知道我怎么错过了这么久，但你是完全正确的——我（终于）修复了这个错误。

【解决方案2】：

最大梯度幅度
我很难同意上面的答案。请注意，对于中心像素 X 及其 3✕3 个相邻像素，它不能同时获取最大水平和垂直梯度，因此对于 8 位系统，Sobel 滤波器可以实现的最大梯度应该是sqrt(20)*(M-m) ，其中M 和m 与接受的答案中定义的相同。邻里结构为[m M M; m X M; m m M]。

【讨论】：