如何在 Python 中显示真实的数值？

Question

案例 1：

for num in [.1, .2, .3, .4, .5, .6, .7, .8, .9,]:
    print(format(num, ".50f"))

0.10000000000000000555111512312578270211815834045410
0.20000000000000001110223024625156540423631668090820
0.29999999999999998889776975374843459576368331909180
0.40000000000000002220446049250313080847263336181641
0.50000000000000000000000000000000000000000000000000
0.59999999999999997779553950749686919152736663818359
0.69999999999999995559107901499373838305473327636719
0.80000000000000004440892098500626161694526672363281
0.90000000000000002220446049250313080847263336181641

如预期的那样不精确（.5 除外）。

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案例 2：

for num in [1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.]:
    print(format(num, ".50f"))

1.00000000000000000000000000000000000000000000000000
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000
3.00000000000000000000000000000000000000000000000000
4.00000000000000000000000000000000000000000000000000
5.00000000000000000000000000000000000000000000000000
6.00000000000000000000000000000000000000000000000000
7.00000000000000000000000000000000000000000000000000
8.00000000000000000000000000000000000000000000000000
9.00000000000000000000000000000000000000000000000000

完美的精度 - ???

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众所周知，在计算中不存在完美的浮点整数：所有浮点数都以二进制基数表示，精度随着位大小的增加而增加（float32、float64 等）。那么上面的案例 2 是怎么回事呢？即使对于".1000f"，零仍然存在，基本上意味着无限精度。此外，0.5 也以某种方式完美呈现。

如果format 不能强制 Python 打印一个浮点数的“真”值，那么什么可以呢？

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尝试过的替代方案：

1. format(round(num, 50), ".50f")
2. format(numpy.float128(num), ".50f")
3. format(round(numpy.float128(num), 50), ".50f")
4. format("%.50f" % num)
5. "{:.50f}".format(num))
6. f"{num:.50f}"

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接受的答案：澄清问题中假设的错误前提；实际问题的答案在问题本身之内 - 使用 format 显示真实数值。

Answer 1

整数值实数实际上可以完美精确地用二进制表示。 对于每一个自然数 n，都存在一个自然数 k，以及一个 0-s 和 1-s 的序列，使得：

n = b0*(2^0) + b1*(2^1) + ... + bk*(2^k)

即使您使用浮点类型，这当然也成立。该数字存储在有限位数中，因此具有无限精度。

一些有理数也可以是 - 具体来说，可以表示为：

s = b1*(0.5)^1 + b*2(0.5)^2 + ... + b*k(0.5)^k + n

对于一些自然数 k,n 和一个二进制向量

这就是为什么您可以获得完美的 0.5 精度，而不是其他小数值。例如，尝试 0.75 - 您也可以在这里获得完美的精度。

Answer 2

在常用格式中，如 IEEE 754 64 位二进制浮点数，所有有限浮点数都是二进制小数，形式为 A*2^B 的数字，其中 A 和 B 都是有符号整数.

当然，有限格式只能表示二进制分数的有限子集。 A 中的有效位数和 B 的范围都受到格式的限制。对于正常（非次正常）IEEE754 64 位二进制，A 可以有不超过 53 个有效位，并且，对于非零 A 归一化为 1.x 的形式，B 必须在 [−1022, 1023] 范围内.

0.5 可以精确表示，因为它是 1*2^-1。 同样，5.0/8.0 (5*2^-3) 等数字也是精确的。

在 64 位二进制浮点中，所有适合 32 位二进制的整数都可以精确表示，解释了问题中的第二个表。 9 是 9*2⁰.

对于输出端值得注意的是，每个二进制分数都有一个终止的十进制扩展。这是因为 2 是 10 的因数。打印足够多的数字，您将得到浮点数的确切值。